初等代数示例

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2} + 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

解题步骤 1.1.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 4 x - 5}$

解题步骤 1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 4 x - 5}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

解题步骤 1.3

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x + 1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3

要将 $\frac{x}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x + 1}{x}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{(x - 1) x}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 1) x$ 的因式。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 1) (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x + x - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 0 - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x (x - 1)}$

解题步骤 6.4

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)}$

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