线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 1

乘以 $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]$ 。

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解题步骤 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

解题步骤 1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 0 a + 0 b + 1 c \\ 1 a + 1 b + 1 c \\ 1 a + 1 b + 1 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} c \\ a + b + c \\ a + 1 b + 1 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} c \\ a + b + c \\ a + b + 1 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} c \\ a + b + c \\ a + b + c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 2

Write as a linear system of equations.

$c = 0$

$a + b + c = 1$

$a + b + c = 5$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将每个方程中所有出现的 $c$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $0$ 替换 $a + b + c = 1$ 中所有出现的 $c$ .

$a + b + 0 = 1$

$c = 0$

$a + b + c = 5$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

化简 $a + b + 0$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

去掉圆括号。

$a + b + 0 = 1$

$c = 0$

$a + b + c = 5$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $a + b$ 和 $0$ 相加。

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b + c = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b + c = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b + c = 5$

解题步骤 3.1.3

使用 $0$ 替换 $a + b + c = 5$ 中所有出现的 $c$ .

$a + b + 0 = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

解题步骤 3.1.4

化简左边。

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解题步骤 3.1.4.1

化简 $a + b + 0$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1

去掉圆括号。

$a + b + 0 = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

解题步骤 3.1.4.1.2

将 $a + b$ 和 $0$ 相加。

$a + b = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

$a + b = 5$

$a + b = 1$

$c = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $b$ 。

$a = 5 - b$

$a + b = 1$

$c = 0$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $a$ 替换成 $5 - b$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $5 - b$ 替换 $a + b = 1$ 中所有出现的 $a$ .

$(5 - b) + b = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

合并 $(5 - b) + b$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- b$ 和 $b$ 相加。

$5 + 0 = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5 = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

$5 = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

$5 = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

$5 = 1$

$a = 5 - b$

$c = 0$

解题步骤 3.4

由于 $5 = 1$ 不成立，因此没有解。

$无解$

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