线性代数示例

$\frac{2}{x^{2} - 2 x - 48} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 x - 6}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 48$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 48$ ，和为 $- 2$ 。

$- 8, 6$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 x - 6}$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 11$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $11 x$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + 11 (x) - 6}$

解题步骤 1.2.1.2

把 $11$ 重写为 $- 1$ 加 $12$

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} + (- 1 + 12) x - 6}$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{2 x^{2} - 1 x + 12 x - 6}$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{(2 x^{2} - 1 x) + 12 x - 6}$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{x (2 x - 1) + 6 (2 x - 1)}$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{2}{(x - 8) (x + 6)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$\frac{2}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2}{(x - 8) (x + 6)}$ 乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{2 (2 x - 1)}{(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)} + \frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x}{(2 x - 1) (x + 6)}$ 乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$\frac{2 (2 x - 1)}{(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)} + \frac{x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 8) (x + 6) (2 x - 1)$ 的因式。

$\frac{2 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)} + \frac{x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (2 x - 1) + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x - 2 + x (x - 8)}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{4 x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 8}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x - 2 + x^{2} + x \cdot - 8}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.6

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 x - 2 + x^{2} - 8 \cdot x}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.7

从 $4 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{- 4 x - 2 + x^{2}}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

解题步骤 6.8

重新排序项。

$\frac{x^{2} - 4 x - 2}{(2 x - 1) (x + 6) (x - 8)}$

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