线性代数示例

2 x + y = - 5

$2 x + y = - 5$ ,

6 y + 32 z = - 46

$6 y + 32 z = - 46$ ,

- 7 x - 2 y + 8 z = 6

$- 7 x - 2 y + 8 z = 6$

Step 1

从方程组中求

A X = B

$A X = B$ 。

[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 32 \\ - 7 & - 2 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 46 \\ 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 32 \\ - 7 & - 2 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 46 \\ 6 \end{array}]$

Step 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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建立分解为大小相等的两个部分的一个矩阵。在左边，填入原矩阵的元素。在右边，填入单位矩阵的元素。为了求逆矩阵，可使用行运算把左边转换为单位矩阵。完成后，原矩阵的逆矩阵将位于双重矩阵的右边。

[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

交换行

3

$3$ 和行

2

$2$ ，使零都处在恰当的位置上。

[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{3} \leftrightarrow R

$R_{3} \leftrightarrow R$

对

R_{1}

$R_{1}$ （第

1

$1$ 行）进行行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

1

$1$ 。

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使用行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

使用行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 的元素实际值替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

化简

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

对

R_{2}

$R_{2}$ （第

2

$2$ 行）进行行运算

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

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使用行运算

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

使用行运算

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 的元素实际值替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) - 2 & (7) \cdot (0) + 8 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) - 2 & (7) \cdot (0) + 8 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

化简

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

对

R_{2}

$R_{2}$ （第

2

$2$ 行）进行行运算

R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

1

$1$ 。

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使用行运算

R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ 替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

使用行运算

R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ 的元素实际值替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (8) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{7}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (1) \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (8) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{7}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (1) \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

化简

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

对

R_{1}

$R_{1}$ （第

1

$1$ 行）进行行运算

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

使用行运算

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 的元素实际值替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{16}{3}) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{16}{3}) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

化简

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

对

R_{3}

$R_{3}$ （第

3

$3$ 行）进行行运算

R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ 替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

使用行运算

R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ 的元素实际值替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (\frac{16}{3}) + 32 & (- 6) \cdot (\frac{7}{3}) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 & (- 6) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (\frac{16}{3}) + 32 & (- 6) \cdot (\frac{7}{3}) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 & (- 6) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \end{array}]$

R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

化简

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]$

对

R_{3}

$R_{3}$ （第

3

$3$ 行）进行行运算

R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

1

$1$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ 替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} \end{array}]$

R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

使用行运算

R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ 的元素实际值替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 14) & (- \frac{1}{14}) \cdot (1) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 4) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 14) & (- \frac{1}{14}) \cdot (1) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 4) \end{array}]$

R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

化简

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

对

R_{1}

$R_{1}$ （第

1

$1$ 行）进行行运算

R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ 替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

使用行运算

R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ 的元素实际值替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) - \frac{8}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) - \frac{8}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

化简

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

对

R_{2}

$R_{2}$ （第

2

$2$ 行）进行行运算

R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ 替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

使用行运算

R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ 的元素实际值替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + \frac{16}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (1) + \frac{7}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) + \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + \frac{16}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (1) + \frac{7}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) + \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

化简

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

因为矩阵的行列式为零，所以该矩阵不存在逆矩阵。

没有反函数

Step 3

因为矩阵没有逆矩阵，所以无法使用逆矩阵进行求解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例