线性代数示例

$x + 4 z = 13$ , $4 x - 2 y + z = 7$ , $2 x - 2 y - 7 z = - 19$

Step 1

从方程组中求 $A X = B$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 \\ 4 & - 2 & 1 \\ 2 & - 2 & - 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 13 \\ 7 \\ - 19 \end{array}]$

Step 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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建立分解为大小相等的两个部分的一个矩阵。在左边，填入原矩阵的元素。在右边，填入单位矩阵的元素。为了求逆矩阵，可使用行运算把左边转换为单位矩阵。完成后，原矩阵的逆矩阵将位于双重矩阵的右边。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 2 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 2 & - 2 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 & (- 4) \cdot (0) - 2 & (- 4) \cdot (4) + 1 & (- 4) \cdot (1) + 0 & (- 4) \cdot (0) + 1 & (- 4) \cdot (0) + 0 \\ 2 & - 2 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 4 & 1 & 0 \\ 2 & - 2 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 4 & 1 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 4 & 1 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (0) - 2 & (- 2) \cdot (4) - 7 & (- 2) \cdot (1) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 4 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $1$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} R_{2} & - \frac{1}{2} R_{2} & - \frac{1}{2} R_{2} & - \frac{1}{2} R_{2} & - \frac{1}{2} R_{2} & - \frac{1}{2} R_{2} \\ 0 & - 2 & - 15 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{2}) \cdot (0) & (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{2}) \cdot (- 15) & (- \frac{1}{2}) \cdot (- 4) & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 0 & - 2 & - 15 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - 2 & - 15 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (\frac{15}{2}) - 15 & (2) \cdot (2) - 2 & (2) \cdot (- \frac{1}{2}) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & - 1 & 1 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $1$ 。

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使用行运算 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 1) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

对 $R_{1}$ （第 $1$ 行）进行行运算 $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ 替换 $R_{1}$ （行 $1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$

使用行运算 $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ 的元素实际值替换 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 4 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) + 0 & (- 1) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$

化简 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{3} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{3} + R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 2 \cdot R_{3} + R_{2} & - 2 \cdot R_{3} + R_{2} & - 2 \cdot R_{3} + R_{2} & - 2 \cdot R_{3} + R_{2} & - 2 \cdot R_{3} + R_{2} & - 2 \cdot R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{3} + R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{3} + R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ (- 2) \cdot (0) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + \frac{15}{2} & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} & (- 2) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{3} + R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 0 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

因为矩阵的行列式为零，所以该矩阵不存在逆矩阵。

没有反函数

Step 3

因为矩阵没有逆矩阵，所以无法使用逆矩阵进行求解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例