线性代数示例

$- 2 x + y + 3 z = 2$ , $x + 4 y - z = - 15$ , $3 x + 3 y - 4 z = - 17$

Step 1

从方程组中求 $A X = B$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & - 1 \\ 3 & 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 15 \\ - 17 \end{array}]$

Step 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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建立分解为大小相等的两个部分的一个矩阵。在左边，填入原矩阵的元素。在右边，填入单位矩阵的元素。为了求逆矩阵，可使用行运算把左边转换为单位矩阵。完成后，原矩阵的逆矩阵将位于双重矩阵的右边。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{1}$ （第 $1$ 行）进行行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $1$ 。

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使用行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ 替换 $R_{1}$ （行 $1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} & - \frac{1}{2} R_{1} & - \frac{1}{2} R_{1} & - \frac{1}{2} R_{1} & - \frac{1}{2} R_{1} & - \frac{1}{2} R_{1} \\ 1 & 4 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

使用行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ 的元素实际值替换 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) & (- \frac{1}{2}) \cdot (3) & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 1 & 4 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

化简 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 4 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) + 4 & (- 1) \cdot (- \frac{3}{2}) - 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 3 & 3 & - 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3}{2}) - 4 & (- 3) \cdot (- \frac{1}{2}) + 0 & (- 3) \cdot (0) + 0 & (- 3) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = \frac{2}{9} R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $1$ 。

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使用行运算 $R_{2} = \frac{2}{9} R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{9} R_{2} & \frac{2}{9} R_{2} & \frac{2}{9} R_{2} & \frac{2}{9} R_{2} & \frac{2}{9} R_{2} & \frac{2}{9} R_{2} \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{9} R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = \frac{2}{9} R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{9}) \cdot (0) & (\frac{2}{9}) \cdot (\frac{9}{2}) & (\frac{2}{9}) \cdot (\frac{1}{2}) & (\frac{2}{9}) \cdot (\frac{1}{2}) & (\frac{2}{9}) \cdot (1) & (\frac{2}{9}) \cdot (0) \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{9} R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{1}$ （第 $1$ 行）进行行运算 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 替换 $R_{1}$ （行 $1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

使用行运算 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 的元素实际值替换 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{2}) \cdot (1) - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{3}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{9}) + 0 & (\frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

化简 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & - \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{3} = - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & - \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} & - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} & - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} & - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} & - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} & - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & - \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ (- \frac{9}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{9}{2}) \cdot (1) + \frac{9}{2} & (- \frac{9}{2}) \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{1}{2} & (- \frac{9}{2}) \cdot (\frac{1}{9}) + \frac{3}{2} & (- \frac{9}{2}) \cdot (\frac{2}{9}) + 0 & (- \frac{9}{2}) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{9}{2} R_{2} + R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & - \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

对 $R_{1}$ （第 $1$ 行）进行行运算 $R_{1} = \frac{4}{9} R_{3} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{1} = \frac{4}{9} R_{3} + R_{1}$ 替换 $R_{1}$ （行 $1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} & \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} & \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} & \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} & \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} & \frac{4}{9} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{4}{9} R_{3} + R_{1}$

使用行运算 $R_{1} = \frac{4}{9} R_{3} + R_{1}$ 的元素实际值替换 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} (\frac{4}{9}) \cdot (0) + 1 & (\frac{4}{9}) \cdot (0) + 0 & (\frac{4}{9}) \cdot (0) - \frac{13}{9} & (\frac{4}{9}) \cdot (1) - \frac{4}{9} & (\frac{4}{9}) \cdot (- 1) + \frac{1}{9} & (\frac{4}{9}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{4}{9} R_{3} + R_{1}$

化简 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{4}{9} \\ - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{4}{9} \\ (- \frac{1}{9}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{9}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{9}) \cdot (0) + \frac{1}{9} & (- \frac{1}{9}) \cdot (1) + \frac{1}{9} & (- \frac{1}{9}) \cdot (- 1) + \frac{2}{9} & (- \frac{1}{9}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{9} R_{3} + R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{13}{9} & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

因为矩阵的行列式为零，所以该矩阵不存在逆矩阵。

没有反函数

Step 3

因为矩阵没有逆矩阵，所以无法使用逆矩阵进行求解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例