线性代数示例

2 x - 3 y + 4 z = 4

$2 x - 3 y + 4 z = 4$ ,

- 4 x + y - 3 z = 3

$- 4 x + y - 3 z = 3$ ,

2 x + 2 y - z = 1

$2 x + 2 y - z = 1$

Step 1

从方程组中求

A X = B

$A X = B$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 4 - 4 & 1 & - 3 2 & 2 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 431 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ - 4 & 1 & - 3 \\ 2 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array}]$

Step 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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建立分解为大小相等的两个部分的一个矩阵。在左边，填入原矩阵的元素。在右边，填入单位矩阵的元素。为了求逆矩阵，可使用行运算把左边转换为单位矩阵。完成后，原矩阵的逆矩阵将位于双重矩阵的右边。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 4 & 1 & 0 & 0 - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对

R_{1}

$R_{1}$ （第

1

$1$ 行）进行行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

1

$1$ 。

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使用行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

使用行运算

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 的元素实际值替换

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{2}) \cdot (4) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{2}) \cdot (4) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

化简

R_{1}

$R_{1}$ （行

1

$1$ ）。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & - 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对

R_{2}

$R_{2}$ （第

2

$2$ 行）进行行运算

R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

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使用行运算

R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} & 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

使用行运算

R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 的元素实际值替换

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 (4) \cdot (1) - 4 & (4) \cdot (- \frac{3}{2}) + 1 & (4) \cdot (2) - 3 & (4) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (4) \cdot (0) + 1 & (4) \cdot (0) + 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (4) \cdot (1) - 4 & (4) \cdot (- \frac{3}{2}) + 1 & (4) \cdot (2) - 3 & (4) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (4) \cdot (0) + 1 & (4) \cdot (0) + 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

化简

R_{2}

$R_{2}$ （行

2

$2$ ）。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

对

R_{3}

$R_{3}$ （第

3

$3$ 行）进行行运算

R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

0

$0$ 。

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使用行运算

R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} & - 2 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

使用行运算

R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$ 的元素实际值替换

R_{3}

$R_{3}$ （行

3

$3$ ）。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{3}{2}) + 2 & (- 2) \cdot (2) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{3}{2}) + 2 & (- 2) \cdot (2) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 2 \cdot R_{1} + R_{3}$

化简

$R_{3}$ （行

$3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

对

$R_{2}$ （第

$2$ 行）进行行运算

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

$1$ 。

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使用行运算

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 替换

$R_{2}$ （行

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

使用行运算

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 的元素实际值替换

$R_{2}$ （行

$2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

化简

$R_{2}$ （行

$2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

对

$R_{1}$ （第

$1$ 行）进行行运算

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

$0$ 。

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使用行运算

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ 替换

$R_{1}$ （行

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

$0$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

使用行运算

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ 的元素实际值替换

$R_{1}$ （行

$1$ ）。

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{2}) \cdot (1) - \frac{3}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (- 1) + 2 & (\frac{3}{2}) \cdot (- \frac{2}{5}) + \frac{1}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

化简

$R_{1}$ （行

$1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

对

$R_{3}$ （第

$3$ 行）进行行运算

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 替换

$R_{3}$ （行

$3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

使用行运算

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 的元素实际值替换

$R_{3}$ （行

$3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (- 5) \cdot (0) + 0 & (- 5) \cdot (1) + 5 & (- 5) \cdot (- 1) - 5 & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) - 1 & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (- 5) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

化简

$R_{3}$ （行

$3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & - \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

对

$R_{1}$ （第

$1$ 行）进行行运算

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ 替换

$R_{1}$ （行

$1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

$0$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{10} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$

使用行运算

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$ 的元素实际值替换

$R_{1}$ （行

$1$ ）。

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{10}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{10}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{10}) \cdot (0) + \frac{1}{2} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) - \frac{1}{10} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) - \frac{3}{10} & (\frac{1}{10}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{10} R_{3} + R_{1}$

化简

$R_{1}$ （行

$1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

对

$R_{2}$ （第

$2$ 行）进行行运算

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

使用行运算

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 替换

$R_{2}$ （行

$2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

使用行运算

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 的元素实际值替换

$R_{2}$ （行

$2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ (\frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{5}) \cdot (0) - 1 & (\frac{2}{5}) \cdot (1) - \frac{2}{5} & (\frac{2}{5}) \cdot (1) - \frac{1}{5} & (\frac{2}{5}) \cdot (1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

化简

$R_{2}$ （行

$2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

因为矩阵的行列式为零，所以该矩阵不存在逆矩阵。

没有反函数

Step 3

因为矩阵没有逆矩阵，所以无法使用逆矩阵进行求解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例