线性代数示例

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{{\sqrt{3}}^{2} + 4 \sqrt{15} - 4 \sqrt{15} - 16 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.3

乘以 $\sqrt{5} (4 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{1} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.5

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.6

乘以 $- 2 \sqrt{6} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{3 \cdot 6} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.7

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.9

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

解题步骤 4.1.10

乘以 $- 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 4.1.10.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{6} \sqrt{5}}{- 77}$

解题步骤 4.1.10.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{5 \cdot 6}}{- 77}$

解题步骤 4.1.10.3

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{- 77}$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{77}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{77}$

小数形式：

$0.36922211 \dots$

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