线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 63 & 30 & 24 \\ 33 & - 15 & - 9 \\ - 45 & 30 & 15 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & - 9 \\ 30 & 15 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = - 15 \cdot 15 - 30 \cdot - 9$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将 $- 15$ 乘以 $15$ 。

$a_{11} = - 225 - 30 \cdot - 9$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $- 30$ 乘以 $- 9$ 。

$a_{11} = - 225 + 270$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 225$ 和 $270$ 相加。

$a_{11} = 45$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 33 & - 9 \\ - 45 & 15 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 33 \cdot 15 - (- 45 \cdot - 9)$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将 $33$ 乘以 $15$ 。

$a_{12} = 495 - (- 45 \cdot - 9)$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

乘以 $- (- 45 \cdot - 9)$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1.2.1

将 $- 45$ 乘以 $- 9$ 。

$a_{12} = 495 - 1 \cdot 405$

解题步骤 2.2.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $405$ 。

$a_{12} = 495 - 405$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $495$ 中减去 $405$ 。

$a_{12} = 90$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 33 & - 15 \\ - 45 & 30 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 33 \cdot 30 - (- 45 \cdot - 15)$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $33$ 乘以 $30$ 。

$a_{13} = 990 - (- 45 \cdot - 15)$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

乘以 $- (- 45 \cdot - 15)$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.2.1

将 $- 45$ 乘以 $- 15$ 。

$a_{13} = 990 - 1 \cdot 675$

解题步骤 2.3.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $675$ 。

$a_{13} = 990 - 675$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $990$ 中减去 $675$ 。

$a_{13} = 315$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ 30 & 15 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 30 \cdot 15 - 30 \cdot 24$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 $30$ 乘以 $15$ 。

$a_{21} = 450 - 30 \cdot 24$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将 $- 30$ 乘以 $24$ 。

$a_{21} = 450 - 720$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $450$ 中减去 $720$ 。

$a_{21} = - 270$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ - 45 & 15 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = - 63 \cdot 15 - (- 45 \cdot 24)$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将 $- 63$ 乘以 $15$ 。

$a_{22} = - 945 - (- 45 \cdot 24)$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

乘以 $- (- 45 \cdot 24)$ 。

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解题步骤 2.5.2.2.1.2.1

将 $- 45$ 乘以 $24$ 。

$a_{22} = - 945 - - 1080$

解题步骤 2.5.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1080$ 。

$a_{22} = - 945 + 1080$

解题步骤 2.5.2.2.2

将 $- 945$ 和 $1080$ 相加。

$a_{22} = 135$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ - 45 & 30 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = - 63 \cdot 30 - (- 45 \cdot 30)$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将 $- 63$ 乘以 $30$ 。

$a_{23} = - 1890 - (- 45 \cdot 30)$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

乘以 $- (- 45 \cdot 30)$ 。

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解题步骤 2.6.2.2.1.2.1

将 $- 45$ 乘以 $30$ 。

$a_{23} = - 1890 - - 1350$

解题步骤 2.6.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1350$ 。

$a_{23} = - 1890 + 1350$

解题步骤 2.6.2.2.2

将 $- 1890$ 和 $1350$ 相加。

$a_{23} = - 540$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 30 & 24 \\ - 15 & - 9 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 30 \cdot - 9 - (- 15 \cdot 24)$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将 $30$ 乘以 $- 9$ 。

$a_{31} = - 270 - (- 15 \cdot 24)$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

乘以 $- (- 15 \cdot 24)$ 。

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解题步骤 2.7.2.2.1.2.1

将 $- 15$ 乘以 $24$ 。

$a_{31} = - 270 - - 360$

解题步骤 2.7.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 360$ 。

$a_{31} = - 270 + 360$

解题步骤 2.7.2.2.2

将 $- 270$ 和 $360$ 相加。

$a_{31} = 90$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 63 & 24 \\ 33 & - 9 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = - 63 \cdot - 9 - 33 \cdot 24$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $- 63$ 乘以 $- 9$ 。

$a_{32} = 567 - 33 \cdot 24$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将 $- 33$ 乘以 $24$ 。

$a_{32} = 567 - 792$

解题步骤 2.8.2.2.2

从 $567$ 中减去 $792$ 。

$a_{32} = - 225$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 63 & 30 \\ 33 & - 15 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = - 63 \cdot - 15 - 33 \cdot 30$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将 $- 63$ 乘以 $- 15$ 。

$a_{33} = 945 - 33 \cdot 30$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将 $- 33$ 乘以 $30$ 。

$a_{33} = 945 - 990$

解题步骤 2.9.2.2.2

从 $945$ 中减去 $990$ 。

$a_{33} = - 45$

解题步骤 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 45 & - 90 & 315 \\ 270 & 135 & 540 \\ 90 & 225 & - 45 \end{array}]$

解题步骤 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 45 & 270 & 90 \\ - 90 & 135 & 225 \\ 315 & 540 & - 45 \end{array}]$

线性代数 示例

线性代数示例