线性代数示例

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & - 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & - 7 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 3 \cdot 6 - (- 7 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$a_{11} = 18 - (- 7 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

乘以 $- (- 7 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1.2.1

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$a_{11} = 18 - - 28$

解题步骤 2.1.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 28$ 。

$a_{11} = 18 + 28$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $18$ 和 $28$ 相加。

$a_{11} = 46$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$a_{12} = 12 - 5 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$a_{12} = 12 - 20$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $12$ 中减去 $20$ 。

$a_{12} = - 8$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 2 \cdot - 7 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$a_{13} = - 14 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$a_{13} = - 14 - 15$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $- 14$ 中减去 $15$ 。

$a_{13} = - 29$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 0 \cdot 6 - (- 7 \cdot - 2)$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$a_{21} = 0 - (- 7 \cdot - 2)$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

乘以 $- (- 7 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.2.1

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 14$

解题步骤 2.4.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$a_{21} = 0 - 14$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $0$ 中减去 $14$ 。

$a_{21} = - 14$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 5 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$a_{22} = 24 - 5 \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{22} = 24 + 10$

解题步骤 2.5.2.2.2

将 $24$ 和 $10$ 相加。

$a_{22} = 34$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 4 \cdot - 7 - 5 \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 7$ 。

$a_{23} = - 28 - 5 \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$a_{23} = - 28 + 0$

解题步骤 2.6.2.2.2

将 $- 28$ 和 $0$ 相加。

$a_{23} = - 28$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 0 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$a_{31} = 0 - 3 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{31} = 0 + 6$

解题步骤 2.7.2.2.2

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$a_{31} = 6$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$a_{32} = 16 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{32} = 16 + 4$

解题步骤 2.8.2.2.2

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$a_{32} = 20$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$a_{33} = 12 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$a_{33} = 12 + 0$

解题步骤 2.9.2.2.2

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$a_{33} = 12$

解题步骤 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 46 & 8 & - 29 \\ 14 & 34 & 28 \\ 6 & - 20 & 12 \end{array}]$

解题步骤 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 46 & 14 & 6 \\ 8 & 34 & - 20 \\ - 29 & 28 & 12 \end{array}]$

线性代数 示例

线性代数示例