线性代数示例

$[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 11 \\ 6 & 13 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 9 \cdot 13 - 6 \cdot 11$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将 $9$ 乘以 $13$ 。

$a_{11} = 117 - 6 \cdot 11$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $11$ 。

$a_{11} = 117 - 66$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $117$ 中减去 $66$ 。

$a_{11} = 51$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 2 \cdot 13 - 4 \cdot 11$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $13$ 。

$a_{12} = 26 - 4 \cdot 11$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $11$ 。

$a_{12} = 26 - 44$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $26$ 中减去 $44$ 。

$a_{12} = - 18$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 9 \\ 4 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 9$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 9$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$a_{13} = 12 - 36$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $12$ 中减去 $36$ 。

$a_{13} = - 24$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 6 & 13 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 22 \cdot 13 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 $22$ 乘以 $13$ 。

$a_{21} = 286 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$a_{21} = 286 - 24$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $286$ 中减去 $24$ 。

$a_{21} = 262$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 4 & 13 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 17 \cdot 13 - 4 \cdot 4$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将 $17$ 乘以 $13$ 。

$a_{22} = 221 - 4 \cdot 4$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$a_{22} = 221 - 16$

解题步骤 2.5.2.2.2

从 $221$ 中减去 $16$ 。

$a_{22} = 205$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 4 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 17 \cdot 6 - 4 \cdot 22$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将 $17$ 乘以 $6$ 。

$a_{23} = 102 - 4 \cdot 22$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $22$ 。

$a_{23} = 102 - 88$

解题步骤 2.6.2.2.2

从 $102$ 中减去 $88$ 。

$a_{23} = 14$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 9 & 11 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 22 \cdot 11 - 9 \cdot 4$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将 $22$ 乘以 $11$ 。

$a_{31} = 242 - 9 \cdot 4$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$a_{31} = 242 - 36$

解题步骤 2.7.2.2.2

从 $242$ 中减去 $36$ 。

$a_{31} = 206$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 2 & 11 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 17 \cdot 11 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $17$ 乘以 $11$ 。

$a_{32} = 187 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$a_{32} = 187 - 8$

解题步骤 2.8.2.2.2

从 $187$ 中减去 $8$ 。

$a_{32} = 179$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 2 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 17 \cdot 9 - 2 \cdot 22$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将 $17$ 乘以 $9$ 。

$a_{33} = 153 - 2 \cdot 22$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $22$ 。

$a_{33} = 153 - 44$

解题步骤 2.9.2.2.2

从 $153$ 中减去 $44$ 。

$a_{33} = 109$

解题步骤 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 51 & 18 & - 24 \\ - 262 & 205 & - 14 \\ 206 & - 179 & 109 \end{array}]$

线性代数 示例

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