线性代数示例

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$9$ 。

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将

$- 15$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将

$- 27 e^{- 2 x}$ 和

$45 e^{- 2 x}$ 相加。

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$12$ 。

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将

$- 15$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.2.2.2.2

将

$- 36 e^{- 4 x}$ 和

$45 e^{- 4 x}$ 相加。

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

通过指数相加将

$e^{- 4 x}$ 乘以

$e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.2.1

移动

$e^{- 2 x}$ 。

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.2.3

从

$- 2 x$ 中减去

$4 x$ 。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.3

将

$12$ 乘以

$3$ 。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.3.2.2.1.5

通过指数相加将

$e^{- 4 x}$ 乘以

$e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.5.1

移动

$e^{- 2 x}$ 。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

解题步骤 2.3.2.2.1.5.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

解题步骤 2.3.2.2.1.5.3

从

$- 2 x$ 中减去

$4 x$ 。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

解题步骤 2.3.2.2.1.6

将

$- 3$ 乘以

$9$ 。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

解题步骤 2.3.2.2.2

从

$36 e^{- 6 x}$ 中减去

$27 e^{- 6 x}$ 。

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将

$0$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.4.2.2.2

将

$0$ 和

$9 e^{- 2 x}$ 相加。

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$6$ 。

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.5.2.2.2

将

$- 18 e^{- 4 x}$ 和

$9 e^{- 4 x}$ 相加。

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

通过指数相加将

$e^{- 4 x}$ 乘以

$e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.6.2.2.1.2.1

移动

$e^{- 2 x}$ 。

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.2.3

从

$- 2 x$ 中减去

$4 x$ 。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.3

将

$6$ 乘以

$3$ 。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.2.1.4

乘以

$- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.2.1.4.1

将

$0$ 乘以

$- 3$ 。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.6.2.2.1.4.2

将

$0$ 乘以

$e^{- 4 x}$ 。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

解题步骤 2.6.2.2.2

将

$18 e^{- 6 x}$ 和

$0$ 相加。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将

$0$ 乘以

$- 15$ 。

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 9$ 。

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.7.2.2.2

将

$0$ 和

$27 e^{- 2 x}$ 相加。

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将

$- 15$ 乘以

$6$ 。

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 12$ 。

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.8.2.2.2

将

$- 90 e^{- 4 x}$ 和

$36 e^{- 4 x}$ 相加。

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

通过指数相加将

$e^{- 4 x}$ 乘以

$e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.9.2.2.1.2.1

移动

$e^{- 2 x}$ 。

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.2.3

从

$- 2 x$ 中减去

$4 x$ 。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.3

将

$6$ 乘以

$9$ 。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.2.1.4

乘以

$- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.9.2.2.1.4.1

将

$0$ 乘以

$- 12$ 。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

解题步骤 2.9.2.2.1.4.2

将

$0$ 乘以

$e^{- 4 x}$ 。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

解题步骤 2.9.2.2.2

将

$54 e^{- 6 x}$ 和

$0$ 相加。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

解题步骤 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$

线性代数 示例

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