线性代数示例

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 9 & 10 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 10 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 5 \cdot 6 - 10 \cdot 5$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$6$ 。

$a_{11} = 30 - 10 \cdot 5$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将

$- 10$ 乘以

$5$ 。

$a_{11} = 30 - 50$

解题步骤 2.1.2.2.2

从

$30$ 中减去

$50$ 。

$a_{11} = - 20$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 3 \cdot 6 - 9 \cdot 5$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将

$3$ 乘以

$6$ 。

$a_{12} = 18 - 9 \cdot 5$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将

$- 9$ 乘以

$5$ 。

$a_{12} = 18 - 45$

解题步骤 2.2.2.2.2

从

$18$ 中减去

$45$ 。

$a_{12} = - 27$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 3 \cdot 10 - 9 \cdot 5$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将

$3$ 乘以

$10$ 。

$a_{13} = 30 - 9 \cdot 5$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将

$- 9$ 乘以

$5$ 。

$a_{13} = 30 - 45$

解题步骤 2.3.2.2.2

从

$30$ 中减去

$45$ 。

$a_{13} = - 15$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 10 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = - 4 \cdot 6 - 10 \cdot 4$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$6$ 。

$a_{21} = - 24 - 10 \cdot 4$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将

$- 10$ 乘以

$4$ 。

$a_{21} = - 24 - 40$

解题步骤 2.4.2.2.2

从

$- 24$ 中减去

$40$ 。

$a_{21} = - 64$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 5 \cdot 6 - 9 \cdot 4$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$6$ 。

$a_{22} = 30 - 9 \cdot 4$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将

$- 9$ 乘以

$4$ 。

$a_{22} = 30 - 36$

解题步骤 2.5.2.2.2

从

$30$ 中减去

$36$ 。

$a_{22} = - 6$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 9 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 5 \cdot 10 - 9 \cdot - 4$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$10$ 。

$a_{23} = 50 - 9 \cdot - 4$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将

$- 9$ 乘以

$- 4$ 。

$a_{23} = 50 + 36$

解题步骤 2.6.2.2.2

将

$50$ 和

$36$ 相加。

$a_{23} = 86$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 5 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = - 4 \cdot 5 - 5 \cdot 4$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$5$ 。

$a_{31} = - 20 - 5 \cdot 4$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将

$- 5$ 乘以

$4$ 。

$a_{31} = - 20 - 20$

解题步骤 2.7.2.2.2

从

$- 20$ 中减去

$20$ 。

$a_{31} = - 40$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 4$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$5$ 。

$a_{32} = 25 - 3 \cdot 4$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$4$ 。

$a_{32} = 25 - 12$

解题步骤 2.8.2.2.2

从

$25$ 中减去

$12$ 。

$a_{32} = 13$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将

$5$ 乘以

$5$ 。

$a_{33} = 25 - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$- 4$ 。

$a_{33} = 25 + 12$

解题步骤 2.9.2.2.2

将

$25$ 和

$12$ 相加。

$a_{33} = 37$

解题步骤 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 20 & 27 & - 15 \\ 64 & - 6 & - 86 \\ - 40 & - 13 & 37 \end{array}]$

线性代数 示例

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