线性代数 示例

求出特征向量/特征空间 A=[[0,7],[1/7,0]]
A=[07170]A=[07170]
解题步骤 1
求特征值。
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解题步骤 1.1
建立公式以求特征方程 p(λ)p(λ)
p(λ)=行列式(A-λI2)
解题步骤 1.2
大小为 2 的单位矩阵,是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 2×2 方阵。
[1001]
解题步骤 1.3
将已知值代入 p(λ)=行列式(A-λI2)
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解题步骤 1.3.1
代入 [07170] 替换 A
p(λ)=行列式([07170]-λI2)
解题步骤 1.3.2
代入 [1001] 替换 I2
p(λ)=行列式([07170]-λ[1001])
p(λ)=行列式([07170]-λ[1001])
解题步骤 1.4
化简。
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解题步骤 1.4.1
化简每一项。
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解题步骤 1.4.1.1
-λ 乘以矩阵中的每一个元素。
p(λ)=行列式([07170]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])
解题步骤 1.4.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
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解题步骤 1.4.1.2.1
-1 乘以 1
p(λ)=行列式([07170]+[-λ-λ0-λ0-λ1])
解题步骤 1.4.1.2.2
乘以 -λ0
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解题步骤 1.4.1.2.2.1
0 乘以 -1
p(λ)=行列式([07170]+[-λ0λ-λ0-λ1])
解题步骤 1.4.1.2.2.2
0 乘以 λ
p(λ)=行列式([07170]+[-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=行列式([07170]+[-λ0-λ0-λ1])
解题步骤 1.4.1.2.3
乘以 -λ0
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解题步骤 1.4.1.2.3.1
0 乘以 -1
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00λ-λ1])
解题步骤 1.4.1.2.3.2
0 乘以 λ
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00-λ1])
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00-λ1])
解题步骤 1.4.1.2.4
-1 乘以 1
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00-λ])
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00-λ])
p(λ)=行列式([07170]+[-λ00-λ])
解题步骤 1.4.2
加上相应元素。
p(λ)=行列式[0-λ7+017+00-λ]
解题步骤 1.4.3
Simplify each element.
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解题步骤 1.4.3.1
0 中减去 λ
p(λ)=行列式[-λ7+017+00-λ]
解题步骤 1.4.3.2
70 相加。
p(λ)=行列式[-λ717+00-λ]
解题步骤 1.4.3.3
170 相加。
p(λ)=行列式[-λ7170-λ]
解题步骤 1.4.3.4
0 中减去 λ
p(λ)=行列式[-λ717-λ]
p(λ)=行列式[-λ717-λ]
p(λ)=行列式[-λ717-λ]
解题步骤 1.5
Find the determinant.
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解题步骤 1.5.1
可以使用公式 |abcd|=ad-cb2×2 矩阵的行列式。
p(λ)=-λ(-λ)-177
解题步骤 1.5.2
化简每一项。
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解题步骤 1.5.2.1
使用乘法的交换性质重写。
p(λ)=-1-1λλ-177
解题步骤 1.5.2.2
通过指数相加将 λ 乘以 λ
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解题步骤 1.5.2.2.1
移动 λ
p(λ)=-1-1(λλ)-177
解题步骤 1.5.2.2.2
λ 乘以 λ
p(λ)=-1-1λ2-177
p(λ)=-1-1λ2-177
解题步骤 1.5.2.3
-1 乘以 -1
p(λ)=1λ2-177
解题步骤 1.5.2.4
λ2 乘以 1
p(λ)=λ2-177
解题步骤 1.5.2.5
约去 7 的公因数。
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解题步骤 1.5.2.5.1
-17 中前置负号移到分子中。
p(λ)=λ2+-177
解题步骤 1.5.2.5.2
约去公因数。
p(λ)=λ2+-177
解题步骤 1.5.2.5.3
重写表达式。
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
解题步骤 1.6
使特征多项式等于 0,以求特征值 λ
λ2-1=0
解题步骤 1.7
求解 λ
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解题步骤 1.7.1
在等式两边都加上 1
λ2=1
解题步骤 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±1
解题步骤 1.7.3
1 的任意次方根都是 1
λ=±1
解题步骤 1.7.4
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.7.4.1
首先,利用 ± 的正值求第一个解。
λ=1
解题步骤 1.7.4.2
下一步,使用 ± 的负值来求第二个解。
λ=-1
解题步骤 1.7.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
解题步骤 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
解题步骤 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=1.
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解题步骤 3.1
将已知值代入公式中。
N([07170]-[1001])
解题步骤 3.2
化简。
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解题步骤 3.2.1
减去相应的元素。
[0-17-017-00-1]
解题步骤 3.2.2
Simplify each element.
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解题步骤 3.2.2.1
0 中减去 1
[-17-017-00-1]
解题步骤 3.2.2.2
7 中减去 0
[-1717-00-1]
解题步骤 3.2.2.3
17 中减去 0
[-17170-1]
解题步骤 3.2.2.4
0 中减去 1
[-1717-1]
[-1717-1]
[-1717-1]
解题步骤 3.3
Find the null space when λ=1.
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解题步骤 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-17017-10]
解题步骤 3.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
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解题步骤 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
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解题步骤 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-17-017-10]
解题步骤 3.3.2.1.2
化简 R1
[1-7017-10]
[1-7017-10]
解题步骤 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
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解题步骤 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-7017-171-1-17-70-170]
解题步骤 3.3.2.2.2
化简 R2
[1-70000]
[1-70000]
[1-70000]
解题步骤 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-7y=0
0=0
解题步骤 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[7yy]
解题步骤 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[71]
解题步骤 3.3.6
Write as a solution set.
{y[71]|yR}
解题步骤 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[71]}
{[71]}
{[71]}
解题步骤 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=-1.
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解题步骤 4.1
将已知值代入公式中。
N([07170]+[1001])
解题步骤 4.2
化简。
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解题步骤 4.2.1
加上相应元素。
[0+17+017+00+1]
解题步骤 4.2.2
Simplify each element.
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解题步骤 4.2.2.1
01 相加。
[17+017+00+1]
解题步骤 4.2.2.2
70 相加。
[1717+00+1]
解题步骤 4.2.2.3
170 相加。
[17170+1]
解题步骤 4.2.2.4
01 相加。
[17171]
[17171]
[17171]
解题步骤 4.3
Find the null space when λ=-1.
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解题步骤 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1701710]
解题步骤 4.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
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解题步骤 4.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
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解题步骤 4.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[17017-1711-1770-170]
解题步骤 4.3.2.1.2
化简 R2
[170000]
[170000]
[170000]
解题步骤 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+7y=0
0=0
解题步骤 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-7yy]
解题步骤 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-71]
解题步骤 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-71]|yR}
解题步骤 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-71]}
{[-71]}
{[-71]}
解题步骤 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[71],[-71]}
 [x2  12  π  xdx ]