线性代数 示例

求出特征向量/特征空间 A=[[0,7],[1/7,0]]
解题步骤 1
求特征值。
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解题步骤 1.1
建立公式以求特征方程
解题步骤 1.2
大小为 的单位矩阵,是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 方阵。
解题步骤 1.3
将已知值代入
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解题步骤 1.3.1
代入 替换
解题步骤 1.3.2
代入 替换
解题步骤 1.4
化简。
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解题步骤 1.4.1
化简每一项。
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解题步骤 1.4.1.1
乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 1.4.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
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解题步骤 1.4.1.2.1
乘以
解题步骤 1.4.1.2.2
乘以
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解题步骤 1.4.1.2.2.1
乘以
解题步骤 1.4.1.2.2.2
乘以
解题步骤 1.4.1.2.3
乘以
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解题步骤 1.4.1.2.3.1
乘以
解题步骤 1.4.1.2.3.2
乘以
解题步骤 1.4.1.2.4
乘以
解题步骤 1.4.2
加上相应元素。
解题步骤 1.4.3
Simplify each element.
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解题步骤 1.4.3.1
中减去
解题步骤 1.4.3.2
相加。
解题步骤 1.4.3.3
相加。
解题步骤 1.4.3.4
中减去
解题步骤 1.5
Find the determinant.
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解题步骤 1.5.1
可以使用公式 矩阵的行列式。
解题步骤 1.5.2
化简每一项。
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解题步骤 1.5.2.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 1.5.2.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 1.5.2.2.1
移动
解题步骤 1.5.2.2.2
乘以
解题步骤 1.5.2.3
乘以
解题步骤 1.5.2.4
乘以
解题步骤 1.5.2.5
约去 的公因数。
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解题步骤 1.5.2.5.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 1.5.2.5.2
约去公因数。
解题步骤 1.5.2.5.3
重写表达式。
解题步骤 1.6
使特征多项式等于 ,以求特征值
解题步骤 1.7
求解
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解题步骤 1.7.1
在等式两边都加上
解题步骤 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 1.7.3
的任意次方根都是
解题步骤 1.7.4
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 1.7.4.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 1.7.4.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 1.7.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
解题步骤 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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解题步骤 3.1
将已知值代入公式中。
解题步骤 3.2
化简。
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解题步骤 3.2.1
减去相应的元素。
解题步骤 3.2.2
Simplify each element.
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解题步骤 3.2.2.1
中减去
解题步骤 3.2.2.2
中减去
解题步骤 3.2.2.3
中减去
解题步骤 3.2.2.4
中减去
解题步骤 3.3
Find the null space when .
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解题步骤 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
解题步骤 3.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
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解题步骤 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
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解题步骤 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
解题步骤 3.3.2.1.2
化简
解题步骤 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
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解题步骤 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
解题步骤 3.3.2.2.2
化简
解题步骤 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
解题步骤 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
解题步骤 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
解题步骤 3.3.6
Write as a solution set.
解题步骤 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
解题步骤 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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解题步骤 4.1
将已知值代入公式中。
解题步骤 4.2
化简。
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解题步骤 4.2.1
加上相应元素。
解题步骤 4.2.2
Simplify each element.
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解题步骤 4.2.2.1
相加。
解题步骤 4.2.2.2
相加。
解题步骤 4.2.2.3
相加。
解题步骤 4.2.2.4
相加。
解题步骤 4.3
Find the null space when .
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解题步骤 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
解题步骤 4.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
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解题步骤 4.3.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
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解题步骤 4.3.2.1.1
Perform the row operation to make the entry at a .
解题步骤 4.3.2.1.2
化简
解题步骤 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
解题步骤 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
解题步骤 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
解题步骤 4.3.6
Write as a solution set.
解题步骤 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
解题步骤 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.