线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 40 & - 84 & 0 18 & - 38 & 0 36 & - 72 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

$[\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 + 0 & 0 + 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将

$- 84$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 + 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$18$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将

$36$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将

$- 72$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element

$a_{33}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4

计算

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) ((40 - λ) (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(40 - λ) (- 38 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 (- 38 - λ) - λ (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 \cdot - 38 + 40 (- λ) - λ (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 \cdot - 38 + 40 (- λ) - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将

$40$ 乘以

$- 38$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 + 40 (- λ) - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$40$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

将

$- 38$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ + 1 λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ + λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

将

$- 40 λ$ 和

$38 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 2 λ + λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

解题步骤 5.4.2.1.3

将

$- 18$ 乘以

$- 84$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 2 λ + λ^{2} + 1512)$

解题步骤 5.4.2.2

将

$- 1520$ 和

$1512$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8)$

解题步骤 5.4.2.3

将

$- 2 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

合并

$0 + 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

解题步骤 5.5.1.2

将

$0$ 和

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ 相加。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

解题步骤 5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1

将

$- 2$ 乘以

$- 2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.2

将

$- 2$ 乘以

$- 8$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.3

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.3.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.3.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.3.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.6

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

解题步骤 5.5.3.7

将

$- 8$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

解题步骤 5.5.4

合并

$- 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.4.1

将

$- 2 λ^{2}$ 和

$2 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 4 λ + 16 - λ^{3} + 0 + 8 λ$

解题步骤 5.5.4.2

将

$4 λ + 16 - λ^{3}$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 4 λ + 16 - λ^{3} + 8 λ$

解题步骤 5.5.5

将

$4 λ$ 和

$8 λ$ 相加。

$p (λ) = 12 λ + 16 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.6

移动

$16$ 。

$p (λ) = 12 λ - λ^{3} + 16$

解题步骤 5.5.7

将

$12 λ$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 12 λ + 16$

线性代数 示例

线性代数示例