线性代数示例

[\begin{matrix} 1 & 1 1 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为

$2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(1 - λ) (1 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.2

将

$- λ$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

从

$- λ$ 中减去

$λ$ 。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1$

解题步骤 1.5.2.2

合并

$1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 0$

解题步骤 1.5.2.2.2

将

$- 2 λ + λ^{2}$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2}$

解题步骤 1.5.2.3

将

$- 2 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$λ^{2} - 2 λ = 0$

解题步骤 1.7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

从

$λ^{2} - 2 λ$ 中分解出因数

$λ$ 。

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解题步骤 1.7.1.1

从

$λ^{2}$ 中分解出因数

$λ$ 。

$λ \cdot λ - 2 λ = 0$

解题步骤 1.7.1.2

从

$- 2 λ$ 中分解出因数

$λ$ 。

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2 = 0$

解题步骤 1.7.1.3

从

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2$ 中分解出因数

$λ$ 。

$λ (λ - 2) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

解题步骤 1.7.3

将

$λ$ 设为等于

$0$ 。

$λ = 0$

解题步骤 1.7.4

将

$λ - 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将

$λ - 2$ 设为等于

$0$ 。

$λ - 2 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

在等式两边都加上

$2$ 。

$λ = 2$

解题步骤 1.7.5

最终解为使

$λ (λ - 2) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 0, 2$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将

$0$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将

$0$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将

$0$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将

$0$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将

$0$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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解题步骤 3.2.2.1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.2.2.1

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.3

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.4

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 2$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将

$- 2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

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