线性代数示例

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为

$2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

从

$0$ 中减去

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$- 1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.3.1

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.3.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.3.3

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.1.4

乘以

$- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

解题步骤 5.2.1.4.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

解题步骤 5.2.2

将

$- λ \sqrt{2}$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

解题步骤 6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

解题步骤 7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将

$a = 1$ 、

$b = - \sqrt{2}$ 和

$c = 1$ 的值代入二次公式中并求解

$λ$ 。

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对

$- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.3

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以

$1$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.4.4.1

约去公因数。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.4.2

重写表达式。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.5

计算指数。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.3.1.5.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5.2

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.6

从

$2$ 中减去

$4$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.7

将

$- 2$ 重写为

$- 1 (2)$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.8

将

$\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.9

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$

线性代数 示例

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