线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 (1 - λ) + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

将 $1 - λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $1 - λ$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.3.2.3

将 $1$ 和 $- λ$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (1 - λ)$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.2

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.2.2

从 $- λ$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.2

合并 $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

将 $- 2 λ + λ^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.4.2.3

将 $- 2 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5

化简行列式。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.5.2.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.2

乘以 $- 1 (- λ)$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.2.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.4.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.4.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.4.3

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.5.2.5.1.1

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.2

将 $- 2 λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.5.1.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.5.1.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.5.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.2.5.2

将 $λ^{2}$ 和 $2 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.3

从 $λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ - 1 + 3 λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.4

移动 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ + 3 λ^{2} - λ^{3} - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.5

移动 $- λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3.5.6

将 $3 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 (1 - λ) - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.3.2.1

将 $1 - λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $1 - λ$ 中减去 $0$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.3.2.3

将 $1$ 和 $- λ$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.4.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.4.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5

化简行列式。

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解题步骤 5.4.5.1

从 $0$ 中减去 $(1 - λ) (- λ + 1)$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.4.5.2.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.3

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 5.4.5.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + 1 λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.3.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + λ) (- λ + 1)$ 。

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解题步骤 5.4.5.2.4.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ + 1) + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.4.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.4.3

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.5.2.5.1.1

乘以 $- 1 (- λ)$ 。

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解题步骤 5.4.5.2.5.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (1 λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.1.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.4

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.4.5.2.5.1.4.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - (λ \cdot λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.4.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.1.5

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.5.2

将 $λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.2.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.3

将 $2 λ - 1 - λ^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.4

移动 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.4.5.5

将 $2 λ$ 和 $- λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.5

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (1 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.4

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.1.4.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.3.2.3

将 $- 1$ 和 $λ$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

解题步骤 5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1))$

解题步骤 5.5.4.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.5.1

从 $0$ 中减去 $(1 - λ) (λ - 1)$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.5.2.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.3

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 5.5.5.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.3.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + λ) (λ - 1)$ 。

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解题步骤 5.5.5.2.4.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.4.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.4.3

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.5.2.5.1.1

将 $- 1 λ$ 重写为 $- λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5.1.3

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5.1.4

将 $- 1$ 移到 $λ$ 的左侧。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5.1.5

将 $- 1 λ$ 重写为 $- λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.5.2

从 $- λ$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot 0)$

解题步骤 5.5.5.2.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 0)$

解题步骤 5.5.5.3

将 $- 2 λ + 1 + λ^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2})$

解题步骤 5.5.5.4

移动 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 1)$

解题步骤 5.5.5.5

将 $- 2 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6

化简行列式。

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解题步骤 5.6.1

将 $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2

化简每一项。

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解题步骤 5.6.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ 。

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.6.2.2.1

将 $- λ^{3}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.2

将 $3 λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.3

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.15

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.16

乘以 $- λ \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.2.16.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.3

合并 $- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ$ 中相反的项。

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解题步骤 5.6.2.3.1

将 $- λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.3.2

将 $- λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2}$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.4

从 $- λ^{3}$ 中减去 $3 λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.5

将 $3 λ^{2}$ 和 $λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.6

将 $- λ^{2} + 2 λ - 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

解题步骤 5.6.2.7

运用分配律。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.6.2.8

化简。

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解题步骤 5.6.2.8.1

将 $- 1 λ^{2}$ 重写为 $- λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.6.2.8.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.6.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

解题步骤 5.6.3

从 $4 λ^{2}$ 中减去 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

解题步骤 5.6.4

从 $3 λ^{2}$ 中减去 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 + 2 λ - 1$

解题步骤 5.6.5

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 2 λ - 2 + 2 λ - 1$

解题步骤 5.6.6

将 $2 λ$ 和 $2 λ$ 相加。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 2 - 1$

解题步骤 5.6.7

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 3$

解题步骤 5.6.8

移动 $2 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

解题步骤 5.6.9

将 $- 4 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

重新组合项。

$- 4 λ^{3} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.2

从 $- 4 λ^{3} + 4 λ$ 中分解出因数 $- 4 λ$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $- 4 λ^{3}$ 中分解出因数 $- 4 λ$ 。

$- 4 λ \cdot λ^{2} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.2.2

从 $4 λ$ 中分解出因数 $- 4 λ$ 。

$- 4 λ \cdot λ^{2} - 4 λ \cdot - 1 + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.2.3

从 $- 4 λ (λ^{2}) - 4 λ (- 1)$ 中分解出因数 $- 4 λ$ 。

$- 4 λ (λ^{2} - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 4 λ (λ^{2} - 1^{2}) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.4

因数。

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解题步骤 7.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = λ$ 和 $b = 1$ 。

$- 4 λ ((λ + 1) (λ - 1)) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.4.2

去掉多余的括号。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.5

将 $λ^{4}$ 重写为 ${(λ^{2})}^{2}$ 。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + {(λ^{2})}^{2} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.1.6

使 $u = λ^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $λ^{2}$ 。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + u^{2} + 2 u - 3 = 0$

解题步骤 7.1.7

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 7.1.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (u - 1) (u + 3) = 0$

解题步骤 7.1.8

使用 $λ^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1^{2}) (λ^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = λ$ 和 $b = 1$ 。

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.11

从 $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ 中分解出因数 $(λ + 1) (λ - 1)$ 。

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解题步骤 7.1.11.1

从 $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1)$ 中分解出因数 $(λ + 1) (λ - 1)$ 。

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.11.2

从 $(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ 中分解出因数 $(λ + 1) (λ - 1)$ 。

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ + λ^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.12

使 $u = λ$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $λ$ 。

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 u + u^{2} + 3) = 0$

解题步骤 7.1.13

使用 AC 法来对 $- 4 u + u^{2} + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 7.1.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(λ + 1) (λ - 1) ((u - 3) (u - 1)) = 0$

解题步骤 7.1.14

因数。

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解题步骤 7.1.14.1

使用 $λ$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(λ + 1) (λ - 1) ((λ - 3) (λ - 1)) = 0$

解题步骤 7.1.14.2

去掉多余的括号。

$(λ + 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 1) = 0$

解题步骤 7.1.15

合并指数。

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解题步骤 7.1.15.1

对 $λ - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.1.15.2

对 $λ - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{1 + 1} (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ + 1 = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.3

将 $λ + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $λ + 1$ 设为等于 $0$ 。

$λ + 1 = 0$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$λ = - 1$

解题步骤 7.4

将 ${(λ - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 ${(λ - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(λ - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $λ$ 的 ${(λ - 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

解题步骤 7.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$λ = 1$

解题步骤 7.5

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 7.6

最终解为使 $(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$ 成立的所有值。

$λ = - 1, 1, 3$

线性代数 示例

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