线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 1.2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.9

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.12

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 5 & - 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - λ \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4

计算 $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.4.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 - λ) (- 3 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 3 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.2.2

将 $3 λ$ 和 $3 λ$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.3

乘以 $- (- 5 \cdot - 5)$ 。

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解题步骤 1.5.4.4.2.1.3.1

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 25) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (9 + 6 λ + λ^{2} - 25) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.2

从 $9$ 中减去 $25$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (6 λ + λ^{2} - 16) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.4.2.3

将 $6 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.4.5.1

合并 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.4.5.1.1

将 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.1.2

将 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) ((- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 6 λ - 16)$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 3 (6 λ) - 3 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.5.3.1

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ - 3 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.2

将 $- 3$ 乘以 $- 16$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.5.3.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - (λ^{2} λ) - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.5.3.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{2 + 1} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - λ (6 λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.5.3.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 1 \cdot 6 λ^{2} - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 6 λ^{2} - λ \cdot - 16) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.3.7

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 3 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} - 6 λ^{2} + 16 λ) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.4

从 $- 3 λ^{2}$ 中减去 $6 λ^{2}$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 18 λ + 48 - λ^{3} + 16 λ) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.5

将 $- 18 λ$ 和 $16 λ$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 2 λ + 48 - λ^{3}) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.6

移动 $48$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.7

移动 $- 2 λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- 9 λ^{2} - λ^{3} - 2 λ + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.4.5.8

将 $- 9 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5

计算 $| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 - λ & - 5 \\ 0 & - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 5 \\ 0 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 3 - λ \\ 0 & - 5 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ - 5 & - 3 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 ((- 3 - λ) (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 - λ) (- 3 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 - 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 3 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2.2

将 $3 λ$ 和 $3 λ$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot - 5)) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.3

乘以 $- (- 5 \cdot - 5)$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.3.1

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 25) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (9 + 6 λ + λ^{2} - 25) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.2

从 $9$ 中减去 $25$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (6 λ + λ^{2} - 16) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.4.2.3

将 $6 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.5.1

合并 $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.5.5.1.1

将 $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16) + 0) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.5.1.2

将 $- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 (λ^{2} + 6 λ - 16)) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.5.2

运用分配律。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 5 (6 λ) - 5 \cdot - 16) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.5.5.3.1

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ - 5 \cdot - 16) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.5.5.3.2

将 $- 5$ 乘以 $- 16$ 。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0 + 0$

解题步骤 1.5.6

化简行列式。

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解题步骤 1.5.6.1

合并 $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.6.1.1

将 $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80) + 0$

解题步骤 1.5.6.1.2

将 $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48) + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.6.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 - λ) (- λ^{3} - 9 λ^{2} - 2 λ + 48)$ 。

$p (λ) = - 3 (- λ^{3}) - 3 (- 9 λ^{2}) - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.6.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} - 3 (- 9 λ^{2}) - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.2

将 $- 9$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} - 3 (- 2 λ) - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 3 \cdot 48 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.4

将 $- 3$ 乘以 $48$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - λ (- λ^{3}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.2.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.2.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + 1 λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - λ (- 9 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.2.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.2.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 1 \cdot - 9 λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.11

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.2.2.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 48 + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.2.15

将 $48$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 3 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 9 λ^{3} + 2 λ^{2} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.3

将 $3 λ^{3}$ 和 $9 λ^{3}$ 相加。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 27 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} + 2 λ^{2} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.4

将 $27 λ^{2}$ 和 $2 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} + 6 λ - 144 + λ^{4} - 48 λ + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.5

从 $6 λ$ 中减去 $48 λ$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} + 5 (- 5 λ^{2} - 30 λ + 80)$

解题步骤 1.5.6.2.6

运用分配律。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} + 5 (- 5 λ^{2}) + 5 (- 30 λ) + 5 \cdot 80$

解题步骤 1.5.6.2.7

化简。

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解题步骤 1.5.6.2.7.1

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} + 5 (- 30 λ) + 5 \cdot 80$

解题步骤 1.5.6.2.7.2

将 $- 30$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} - 150 λ + 5 \cdot 80$

解题步骤 1.5.6.2.7.3

将 $5$ 乘以 $80$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 25 λ^{2} - 150 λ + 400$

解题步骤 1.5.6.3

从 $29 λ^{2}$ 中减去 $25 λ^{2}$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 42 λ - 144 + λ^{4} - 150 λ + 400$

解题步骤 1.5.6.4

从 $- 42 λ$ 中减去 $150 λ$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ - 144 + λ^{4} + 400$

解题步骤 1.5.6.5

将 $- 144$ 和 $400$ 相加。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + λ^{4} + 256$

解题步骤 1.5.6.6

移动 $- 192 λ$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + 4 λ^{2} + λ^{4} - 192 λ + 256$

解题步骤 1.5.6.7

移动 $4 λ^{2}$ 。

$p (λ) = 12 λ^{3} + λ^{4} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$

解题步骤 1.5.6.8

将 $12 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

解题步骤 1.7.1.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{4} + 12 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 12 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 + 12 \cdot 8 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.4

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$16 + 96 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.5

将 $16$ 和 $96$ 相加。

$112 + 4 \cdot 2^{2} - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$112 + 4 \cdot 4 - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$112 + 16 - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.8

将 $112$ 和 $16$ 相加。

$128 - 192 \cdot 2 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.9

将 $- 192$ 乘以 $2$ 。

$128 - 384 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.10

从 $128$ 中减去 $384$ 。

$- 256 + 256$

解题步骤 1.7.1.1.3.11

将 $- 256$ 和 $256$ 相加。

$0$

解题步骤 1.7.1.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256}{λ - 2}$

解题步骤 1.7.1.1.5

用 $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ 除以 $λ - 2$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{4} - 2 λ^{3}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $14 λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $14 λ^{3} - 28 λ^{2}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $32 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $32 λ^{2} - 64 λ$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 128 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 128 λ + 256$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

解题步骤 1.7.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$192 λ$

$256$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$14 λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$14 λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$192 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$128 λ$

$256$

$128 λ$

$256$

$0$

解题步骤 1.7.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$

解题步骤 1.7.1.1.6

将 $λ^{4} + 12 λ^{3} + 4 λ^{2} - 192 λ + 256$ 书写为因数的集合。

$(λ - 2) (λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

使用有理根检验法因式分解 $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

解题步骤 1.7.1.2.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.2.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + 14 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 + 14 \cdot 4 + 32 \cdot 2 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.4

将 $14$ 乘以 $4$ 。

$8 + 56 + 32 \cdot 2 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.5

将 $8$ 和 $56$ 相加。

$64 + 32 \cdot 2 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.6

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$64 + 64 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.7

将 $64$ 和 $64$ 相加。

$128 - 128$

解题步骤 1.7.1.2.3.8

从 $128$ 中减去 $128$ 。

$0$

解题步骤 1.7.1.2.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128}{λ - 2}$

解题步骤 1.7.1.2.5

用 $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ 除以 $λ - 2$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$32 λ$

$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{3} - 2 λ^{2}$ 中的所有符号

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

解题步骤 1.7.1.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $16 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

解题步骤 1.7.1.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$32 λ$

解题步骤 1.7.1.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 λ^{2} - 32 λ$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$

解题步骤 1.7.1.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$

解题步骤 1.7.1.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $64 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							+	$64 λ$	-	$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $64 λ - 128$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							-	$64 λ$	+	$128$

解题步骤 1.7.1.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	+	$16 λ$	+	$64$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$128$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$32 λ$
							+	$64 λ$	-	$128$
							-	$64 λ$	+	$128$
										$0$

解题步骤 1.7.1.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{2} + 16 λ + 64$

解题步骤 1.7.1.2.6

将 $λ^{3} + 14 λ^{2} + 32 λ - 128$ 书写为因数的集合。

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 16 λ + 64)) = 0$

解题步骤 1.7.1.3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.3.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.3.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 16 λ + 8^{2})) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$16 λ = 2 \cdot λ \cdot 8$

解题步骤 1.7.1.3.1.3

重写多项式。

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 8 + 8^{2})) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = λ$ 和 $b = 8$ 。

$(λ - 2) ((λ - 2) {(λ + 8)}^{2}) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.2

去掉多余的括号。

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.4

合并同类因式。

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解题步骤 1.7.1.4.1

对 $λ - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.4.2

对 $λ - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(λ - 2)}^{1 + 1} {(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(λ - 2)}^{2} {(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(λ - 2)}^{2} = 0$

${(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.3

将 ${(λ - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 ${(λ - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(λ - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.3.2

求解 $λ$ 的 ${(λ - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.7.3.2.1

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 2 = 0$

解题步骤 1.7.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$λ = 2$

解题步骤 1.7.4

将 ${(λ + 8)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 ${(λ + 8)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(λ + 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.4.2

求解 $λ$ 的 ${(λ + 8)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.7.4.2.1

将 $λ + 8$ 设为等于 $0$ 。

$λ + 8 = 0$

解题步骤 1.7.4.2.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$λ = - 8$

解题步骤 1.7.5

最终解为使 ${(λ - 2)}^{2} {(λ + 8)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$λ = 2, - 8$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.7

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.8

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.9

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.10

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.12

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.13

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.14

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.15

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.16

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 3 - 2 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.5

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.6

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 - 2 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.11

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.12

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.15

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.16

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{2} = 0$

$x_{3} + x_{4} = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{2} \\ x_{2} \\ - x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $8$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.5

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.9

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.10

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.11

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.12

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.13

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.14

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.15

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.16

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 3 + 8 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & - 3 + 8 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 + 8 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.11

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.12

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 + 0 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.15

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & - 3 + 8 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.16

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 5 + 5 \cdot - 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 5}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 5 + 5 \cdot - 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{2} = 0$

$x_{3} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例