线性代数示例

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 1.2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.7

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.8

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.10

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.11

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5

计算 $| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 - λ) (1 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2.2

从 $- 2 λ$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.3

乘以 $- (- 3 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - - 12) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} + 12) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.2

将 $2$ 和 $12$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 14) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.3

将 $- 3 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (3 \cdot - 3 - 2 (2 - λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 2 (2 - λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 2 \cdot 2 - 2 (- λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 4 - 2 (- λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 4 + 2 λ))$

解题步骤 1.5.5.4.2.2

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 13 + 2 λ))$

解题步骤 1.5.5.4.2.3

将 $- 13$ 和 $2 λ$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.5.1

将 $(4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.5.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14)$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 3 λ) + 4 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.5.2.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 4 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $14$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.2.2.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.2.2.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.2.2.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.2.7

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} + 3 λ^{2} - 14 λ + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.3

将 $4 λ^{2}$ 和 $3 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 14 λ + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.4

从 $- 12 λ$ 中减去 $14 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 2 (2 λ - 13))$

解题步骤 1.5.5.5.2.5

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 2 (2 λ) + 2 \cdot - 13)$

解题步骤 1.5.5.5.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 4 λ + 2 \cdot - 13)$

解题步骤 1.5.5.5.2.7

将 $2$ 乘以 $- 13$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 4 λ - 26)$

解题步骤 1.5.5.5.3

将 $- 26 λ$ 和 $4 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 22 λ + 56 - λ^{3} - 26)$

解题步骤 1.5.5.5.4

从 $56$ 中减去 $26$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 22 λ - λ^{3} + 30)$

解题步骤 1.5.5.5.5

移动 $- 22 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - λ^{3} - 22 λ + 30)$

解题步骤 1.5.5.5.6

将 $7 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

解题步骤 1.5.6

化简行列式。

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解题步骤 1.5.6.1

合并 $0 + 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.6.1.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

解题步骤 1.5.6.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

解题步骤 1.5.6.1.3

将 $0$ 和 $(3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ 相加。

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

解题步骤 1.5.6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ 。

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (7 λ^{2}) + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (7 λ^{2}) + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.3

将 $- 22$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.4

将 $3$ 乘以 $30$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + 1 λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 (λ^{2} λ) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ^{2 + 1} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ \cdot λ - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 (λ \cdot λ) - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ^{2} - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 22$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} + 22 λ^{2} - λ \cdot 30$

解题步骤 1.5.6.3.15

将 $30$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} + 22 λ^{2} - 30 λ$

解题步骤 1.5.6.4

从 $- 3 λ^{3}$ 中减去 $7 λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} + 22 λ^{2} - 30 λ$

解题步骤 1.5.6.5

将 $21 λ^{2}$ 和 $22 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 30 λ$

解题步骤 1.5.6.6

从 $- 66 λ$ 中减去 $30 λ$ 。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90 + λ^{4}$

解题步骤 1.5.6.7

移动 $90$ 。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + λ^{4} + 90$

解题步骤 1.5.6.8

移动 $- 96 λ$ 。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} + λ^{4} - 96 λ + 90$

解题步骤 1.5.6.9

移动 $43 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 10 λ^{3} + λ^{4} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$

解题步骤 1.5.6.10

将 $- 10 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

解题步骤 1.7.1.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$3^{4} - 10 \cdot 3^{3} + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 - 10 \cdot 3^{3} + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 - 10 \cdot 27 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.4

将 $- 10$ 乘以 $27$ 。

$81 - 270 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.5

从 $81$ 中减去 $270$ 。

$- 189 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 189 + 43 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.7

将 $43$ 乘以 $9$ 。

$- 189 + 387 - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.8

将 $- 189$ 和 $387$ 相加。

$198 - 96 \cdot 3 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.9

将 $- 96$ 乘以 $3$ 。

$198 - 288 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.10

从 $198$ 中减去 $288$ 。

$- 90 + 90$

解题步骤 1.7.1.1.3.11

将 $- 90$ 和 $90$ 相加。

$0$

解题步骤 1.7.1.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90}{λ - 3}$

解题步骤 1.7.1.1.5

用 $λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ 除以 $λ - 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{4} - 3 λ^{3}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

解题步骤 1.7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 λ^{3} + 21 λ^{2}$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $22 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $22 λ^{2} - 66 λ$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 30 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 30 λ + 90$ 中的所有符号

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

解题步骤 1.7.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

$0$

解题步骤 1.7.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$

解题步骤 1.7.1.1.6

将 $λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ 书写为因数的集合。

$(λ - 3) (λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

使用有理根检验法因式分解 $λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

解题步骤 1.7.1.2.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.2.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 22 \cdot 3 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 22 \cdot 3 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 7 \cdot 9 + 22 \cdot 3 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.4

将 $- 7$ 乘以 $9$ 。

$27 - 63 + 22 \cdot 3 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.5

从 $27$ 中减去 $63$ 。

$- 36 + 22 \cdot 3 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.6

将 $22$ 乘以 $3$ 。

$- 36 + 66 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.7

将 $- 36$ 和 $66$ 相加。

$30 - 30$

解题步骤 1.7.1.2.1.3.8

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$0$

解题步骤 1.7.1.2.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30}{λ - 3}$

解题步骤 1.7.1.2.1.5

用 $λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ 除以 $λ - 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $λ^{3} - 3 λ^{2}$ 中的所有符号

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 λ^{2} + 12 λ$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $10 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							+	$10 λ$	-	$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 λ - 30$ 中的所有符号

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							-	$10 λ$	+	$30$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							-	$10 λ$	+	$30$
										$0$

解题步骤 1.7.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$λ^{2} - 4 λ + 10$

解题步骤 1.7.1.2.1.6

将 $λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ 书写为因数的集合。

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

解题步骤 1.7.1.3

合并同类因式。

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解题步骤 1.7.1.3.1

对 $λ - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.2

对 $λ - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(λ - 3)}^{1 + 1} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

解题步骤 1.7.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(λ - 3)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$

解题步骤 1.7.3

将 ${(λ - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 ${(λ - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(λ - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.3.2

求解 $λ$ 的 ${(λ - 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.7.3.2.1

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 1.7.3.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 1.7.4

将 $λ^{2} - 4 λ + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $λ^{2} - 4 λ + 10$ 设为等于 $0$ 。

$λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

求解 $λ$ 的 $λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$ 。

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解题步骤 1.7.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.7.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 10$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3

化简。

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解题步骤 1.7.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.7.4.2.3.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ 。

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解题步骤 1.7.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $10$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $40$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.4

将 $- 24$ 重写为 $- 1 (24)$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (24)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ 。

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.7

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 1.7.4.2.3.1.7.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$λ = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 1.7.4.2.3.3

化简 $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ 。

$λ = 2 \pm i \sqrt{6}$

解题步骤 1.7.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

解题步骤 1.7.5

最终解为使 ${(λ - 3)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 3, 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 3$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.7

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.8

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.9

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.10

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.11

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.12

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.13

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.14

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.15

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.16

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 4 - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.5

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.6

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.10

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.11

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.14

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.15

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.16

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 0 & 4 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 4 - 5 \cdot 0 & 2 - 5 \cdot 2 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 2 & - 0 & - 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 8 + 4 \cdot 2 & 0 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{3} = 0$

$x_{2} + 2 x_{3} = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{3} \\ - 2 x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2 + i \sqrt{6}$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - (2 + i \sqrt{6}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 2 - (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 - (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.3

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.4

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.5

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.6

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.7

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.8

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.9

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.10

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.11

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.12

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.13

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.14

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.15

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4.16

将 $- 2 - i \sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 4 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

从 $0$ 中减去 $i \sqrt{6}$ 。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.11

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.12

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.14

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.15

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.16

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.17

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = 2 + i \sqrt{6}$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - i \sqrt{6}}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{2}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - i \sqrt{6} - 3 \cdot 0 & 4 - 3 (0.4 + 0.48989794 i) & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 0 & - 1 - i \sqrt{6} - 2 (0.4 + 0.48989794 i) & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 4 - 5 \cdot 0 & 2 - 5 (0.4 + 0.48989794 i) & 1 - i \sqrt{6} - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- i \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- i \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ \frac{0}{- i \sqrt{6}} & \frac{- i \sqrt{6}}{- i \sqrt{6}} & \frac{2.8 - 1.46969384 i}{- i \sqrt{6}} & \frac{0}{- i \sqrt{6}} & \frac{0}{- i \sqrt{6}} \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i + 3 (0.6 + 1.14309521 i) & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 - 2.44948974 i + 4 (0.6 + 1.14309521 i) & 1 - i \sqrt{6} + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.7.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.8

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.8.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.8.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.9

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - (2.4 + 2.12289111 i) R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.9.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - (2.4 + 2.12289111 i) R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 2.4 + 2.12289111 i - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 1 & 1 - i \sqrt{6} - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.9.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.10

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{1 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.10.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{1 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{1 - i \sqrt{6}}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.10.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.11

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - (0.6 + 1.14309521 i) R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.11.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - (0.6 + 1.14309521 i) R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 1 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 0.6 + 1.14309521 i - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 1 & 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.11.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.12

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - (0.4 + 0.48989794 i) R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.12.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - (0.4 + 0.48989794 i) R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0.4 + 0.48989794 i - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 1 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.12.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

解题步骤 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2 - i \sqrt{6}$ .

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解题步骤 5.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - (2 - i \sqrt{6}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 2 - (- i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 - (- i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.3

乘以 $- (- i \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 + 1 (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 + \sqrt{6} i) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.2.1.5.1

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.2

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.3

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.4

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.5

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.6

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.7

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.8

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.9

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.10

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.11

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.12

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.13

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.14

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.15

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.5.16

将 $- 2 + \sqrt{6} i$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 5.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 4 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 5.2.3.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.5

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.7

将 $0$ 和 $\sqrt{6} i$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.8

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.11

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.12

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.14

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.15

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.16

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.17

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 + \sqrt{6} i \end{array}]$

解题步骤 5.3

Find the null space when $λ = 2 - i \sqrt{6}$ .

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解题步骤 5.3.1

Undefined simplification result from operation.

$[\begin{array}{c} error \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${}$

解题步骤 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例