线性代数示例

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (5 - λ) (5 - λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 - λ) (5 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.2.2

从 $- 5 λ$ 中减去 $5 λ$ 。

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

解题步骤 1.5.2.3

从 $25 - 10 λ + λ^{2}$ 中减去 $0$ 。

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2}$

解题步骤 1.5.2.4

移动 $25$ 。

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

解题步骤 1.5.2.5

将 $- 10 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

解题步骤 1.7.1.3

重写多项式。

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

解题步骤 1.7.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = λ$ 和 $b = 5$ 。

${(λ - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 1.7.2

将 $λ - 5$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 5 = 0$

解题步骤 1.7.3

在等式两边都加上 $5$ 。

$λ = 5$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 5$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 5 - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 5 - 5 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例