线性代数示例

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the matrix.

$\sqrt{4^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.5

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.6

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.7

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.9.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.9.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.12

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.14

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.16

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.18

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.19

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.20

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.21

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 2.22

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.23

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{17 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.24

将 $17$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{21 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.25

将 $21$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{30 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.26

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{31 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.27

要将 $31$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{31 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.28

组合 $31$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.29

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.30

化简分子。

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解题步骤 2.30.1

将 $31$ 乘以 $16$ 。

$\sqrt{\frac{496 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.30.2

将 $496$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.31

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.32

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 2.32.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.32.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.33

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{497 + 4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.34

将 $497$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{501}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.35

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{501 + 9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.36

将 $501$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.37

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.38

组合 $4$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{510}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.39

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{510 + 4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.40

化简分子。

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解题步骤 2.40.1

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\sqrt{\frac{510 + 64}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.40.2

将 $510$ 和 $64$ 相加。

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.41

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.42

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 2.42.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + 1 + 1}$

解题步骤 2.42.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{16} + 1 + 1}$

解题步骤 2.43

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{574 + 4}{16} + 1 + 1}$

解题步骤 2.44

将 $574$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{578}{16} + 1 + 1}$

解题步骤 2.45

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{578}{16} + \frac{16}{16} + 1}$

解题步骤 2.46

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{578 + 16}{16} + 1}$

解题步骤 2.47

将 $578$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{\frac{594}{16} + 1}$

解题步骤 2.48

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{594}{16} + \frac{16}{16}}$

解题步骤 2.49

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{594 + 16}{16}}$

解题步骤 2.50

将 $594$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{\frac{610}{16}}$

解题步骤 2.51

约去 $610$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.51.1

从 $610$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (305)}{16}}$

解题步骤 2.51.2

约去公因数。

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解题步骤 2.51.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.51.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.51.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{305}{8}}$

解题步骤 2.52

将 $\sqrt{\frac{305}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$ 。

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$

解题步骤 2.53

化简分母。

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解题步骤 2.53.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.53.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 2.53.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.53.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 2.54

将 $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.55

合并和化简分母。

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解题步骤 2.55.1

将 $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.55.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.55.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.55.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 2.55.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.55.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.55.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.55.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.55.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.55.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.55.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.55.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.55.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 2.55.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.56

化简分子。

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解题步骤 2.56.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{305 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.56.2

将 $305$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{610}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.57

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

小数形式：

$6.17454451 \dots$

线性代数 示例

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