线性代数示例

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \sqrt{5}$ 和 $b = \sqrt{5}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

解题步骤 4.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$| z | = \sqrt{10}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 6

因为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $\frac{π}{4}$ 。

$θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 7

代入 $θ = \frac{π}{4}$ 和 $| z | = \sqrt{10}$ 的值。

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

线性代数 示例

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