线性代数示例

\sqrt{2} + \sqrt{2} i

$\sqrt{2} + \sqrt{2} i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中

$| z |$ 是模数，

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

$z = a + b i$ 时，

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入

$a = \sqrt{2}$ 和

$b = \sqrt{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4

求

$| z |$ 。

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解题步骤 4.1

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将

$2$ 和

$2$ 相加。

$| z | = \sqrt{4}$

解题步骤 4.3.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 6

因为

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为

$\frac{π}{4}$ 。

$θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 7

代入

$θ = \frac{π}{4}$ 和

$| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

线性代数 示例

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