线性代数示例

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(4 - 3 i)}^{2}$ 重写为 $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ 。

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

解题步骤 3.1.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

解题步骤 3.1.4

乘以 $- 3 i (- 3 i)$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

解题步骤 3.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

解题步骤 3.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

解题步骤 3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

解题步骤 3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

解题步骤 3.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

解题步骤 3.1.6

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

解题步骤 3.2

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

解题步骤 3.3

从 $- 12 i$ 中减去 $12 i$ 。

$- 5 i (7 - 24 i)$

解题步骤 4

运用分配律。

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

解题步骤 5

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

解题步骤 6

乘以 $- 5 i (- 24 i)$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 24$ 乘以 $- 5$ 。

$- 35 i + 120 i i$

解题步骤 6.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

解题步骤 6.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

解题步骤 6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 35 i + 120 i^{2}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

解题步骤 7.2

将 $120$ 乘以 $- 1$ 。

$- 35 i - 120$

解题步骤 8

将 $- 35 i$ 和 $- 120$ 重新排序。

$- 120 - 35 i$

解题步骤 9

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 10

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 11

代入 $a = - 120$ 和 $b = - 35$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

解题步骤 12

求 $| z |$ 。

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解题步骤 12.1

对 $- 35$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

解题步骤 12.2

对 $- 120$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

解题步骤 12.3

将 $1225$ 和 $14400$ 相加。

$| z | = \sqrt{15625}$

解题步骤 12.4

将 $15625$ 重写为 $125^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

解题步骤 12.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 125$

解题步骤 13

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

解题步骤 14

因为 $\frac{- 35}{- 120}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $3.42538676$ 。

$θ = 3.42538676$

解题步骤 15

代入 $θ = 3.42538676$ 和 $| z | = 125$ 的值。

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$

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