线性代数示例

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中

| z |

$| z |$ 是模数，

θ

$θ$ 是复平面上形成的夹角。

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当

z = a + b i

$z = a + b i$ 时，

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ 和

b = 1

$b = 1$ 的实际值。

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4

求

| z |

$| z |$ 。

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解题步骤 4.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.1

一的任意次幂都为一。

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

对

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

对

- 4

$- 4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.2

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将

16

$16$ 乘以

3

$3$ 。

| z | = \sqrt{1 + 48}

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

解题步骤 4.3.2

将

1

$1$ 和

48

$48$ 相加。

| z | = \sqrt{49}

$| z | = \sqrt{49}$

解题步骤 4.3.3

将

49

$49$ 重写为

7^{2}

$7^{2}$ 。

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

解题步骤 4.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

| z | = 7

$| z | = 7$

| z | = 7

$| z | = 7$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

解题步骤 6

因为

\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为

2.99824508

$2.99824508$ 。

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$

解题步骤 7

代入

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$ 和

| z | = 7

$| z | = 7$ 的值。

7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$