线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 4 & 6 1 & - 3 & 5 3 & - 7 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1472 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 4 & 6 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 3 & - 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

解题步骤 1

该转换定义了从

$ℝ^{3}$ 到

$ℝ^{3}$ 的映射。若要证明该转换是线性转换，必须证明该转换满足标量乘法、加法和零向量。

M：

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

解题步骤 2

首先证明变换将保留此性质。

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

解题步骤 3

建立两个矩阵以验证加法性质仍然存在于

$M$ 。

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

解题步骤 4

将两个矩阵相加。

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 5

对矢量进行转换。

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

解题步骤 6

通过变量分组，将结果分解为两个矩阵。

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 7

因为不满足变换的加法性质，所以这不是线性变换。

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$

线性代数 示例