线性代数示例

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

解题步骤 1

约去 $6 - i$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

解题步骤 2

将 $\frac{6}{6 + i}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{6 + i}$

解题步骤 3

对 $\frac{6}{6 + 1 i}$ 的分子和分母乘以 $6 + 1 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

解题步骤 4

乘。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

解题步骤 4.2.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(6 + 1 i) (6 - i)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

运用分配律。

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

解题步骤 4.3.1.2

运用分配律。

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

解题步骤 4.3.1.3

运用分配律。

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

解题步骤 4.3.2.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

解题步骤 4.3.2.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 4.3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

解题步骤 4.3.2.9

将 $- 6 i$ 和 $6 i$ 相加。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

解题步骤 4.3.2.10

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

解题步骤 4.3.4

将 $36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{36 - 6 i}{37}$

解题步骤 5

分解分数 $\frac{36 - 6 i}{37}$ 成为两个分数。

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

解题步骤 7

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 8

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 9

代入 $a = \frac{36}{37}$ 和 $b = - \frac{6}{37}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10

求 $| z |$ 。

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解题步骤 10.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 10.1.1

对 $- \frac{6}{37}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.1.2

对 $\frac{6}{37}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.2.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.2.4

对 $37$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

解题步骤 10.2.5

对 $\frac{36}{37}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

解题步骤 10.2.6

对 $36$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

解题步骤 10.2.7

对 $37$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

解题步骤 10.2.8

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

解题步骤 10.2.9

将 $36$ 和 $1296$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

解题步骤 10.3

约去 $1332$ 和 $1369$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $1332$ 中分解出因数 $37$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $1369$ 中分解出因数 $37$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

解题步骤 10.3.2.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

解题步骤 10.4

将 $\sqrt{\frac{36}{37}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

解题步骤 10.5

化简分子。

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解题步骤 10.5.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

解题步骤 10.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

解题步骤 10.6

将 $\frac{6}{\sqrt{37}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ 。

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

解题步骤 10.7

合并和化简分母。

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解题步骤 10.7.1

将 $\frac{6}{\sqrt{37}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ 。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

解题步骤 10.7.2

对 $\sqrt{37}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

解题步骤 10.7.3

对 $\sqrt{37}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

解题步骤 10.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

解题步骤 10.7.6

将 ${\sqrt{37}}^{2}$ 重写为 $37$ 。

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解题步骤 10.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{37}$ 重写成 $37^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.7.6.4.1

约去公因数。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.7.6.4.2

重写表达式。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

解题步骤 10.7.6.5

计算指数。

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

解题步骤 11

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

解题步骤 12

因为 $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- 0.16514867$ 。

$θ = - 0.16514867$

解题步骤 13

代入 $θ = - 0.16514867$ 和 $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ 的值。

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$

线性代数 示例

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