线性代数示例

{| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

去掉

{| p + q |}^{2}

${| p + q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

{(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 1.2

去掉

{| p - q |}^{2}

${| p - q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

去掉

{| p |}^{2}

${| p |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

解题步骤 2.2

去掉

{| q |}^{2}

${| q |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

解题步骤 3

将所有包含

p

$p$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去

2 p^{2}

$2 p^{2}$ 。

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将

{(p + q)}^{2}

${(p + q)}^{2}$ 重写为

(p + q) (p + q)

$(p + q) (p + q)$ 。

(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开

(p + q) (p + q)

$(p + q) (p + q)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将

p

$p$ 乘以

p

$p$ 。

p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.1.2

将

q

$q$ 乘以

q

$q$ 。

p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.2

将

p q

$p q$ 和

q p

$q p$ 相加。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将

q

$q$ 和

p

$p$ 重新排序。

p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.3.2.2

将

p q

$p q$ 和

p q

$p q$ 相加。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.4

将

{(p - q)}^{2}

${(p - q)}^{2}$ 重写为

(p - q) (p - q)

$(p - q) (p - q)$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5

使用 FOIL 方法展开

(p - q) (p - q)

$(p - q) (p - q)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

运用分配律。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5.2

运用分配律。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.5.3

运用分配律。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.6.1.1

将

p

$p$ 乘以

p

$p$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.4

通过指数相加将

q

$q$ 乘以

q

$q$ 。

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解题步骤 3.2.6.1.4.1

移动

q

$q$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.4.2

将

q

$q$ 乘以

q

$q$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.1.6

将

q^{2}

$q^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.2

从

- p q

$- p q$ 中减去

q p

$q p$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

移动

q

$q$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.2.6.2.2

从

- p q

$- p q$ 中减去

p q

$p q$ 。

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.3

合并

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1

从

2 p q

$2 p q$ 中减去

2 p q

$2 p q$ 。

p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.3.2

将

p^{2} + q^{2} + p^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ 和

0

$0$ 相加。

p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.4

将

p^{2}

$p^{2}$ 和

p^{2}

$p^{2}$ 相加。

2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.5

合并

2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1

从

2 p^{2}

$2 p^{2}$ 中减去

2 p^{2}

$2 p^{2}$ 。

q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

解题步骤 3.5.2

将

q^{2} + q^{2}

$q^{2} + q^{2}$ 和

0

$0$ 相加。

q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 3.6

将

q^{2}

$q^{2}$ 和

q^{2}

$q^{2}$ 相加。

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

解题步骤 4

将

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用

$q^{2}$ 除以

$1$ 。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

约去公因数。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

用

$q^{2}$ 除以

$1$ 。

$q^{2} = q^{2}$

解题步骤 5

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| q | = | q |$

解题步骤 6

求解

$q$ 。

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解题步骤 6.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

解题步骤 6.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$q = q$

$q = - q$

解题步骤 6.3

求解

$q$ 的

$q = q$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有包含

$q$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.3.1.1

从等式两边同时减去

$q$ 。

$q - q = 0$

解题步骤 6.3.1.2

从

$q$ 中减去

$q$ 。

$0 = 0$

解题步骤 6.3.2

因为

$0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

解题步骤 6.4

求解

$q$ 的

$q = - q$ 。

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解题步骤 6.4.1

将所有包含

$q$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.4.1.1

在等式两边都加上

$q$ 。

$q + q = 0$

解题步骤 6.4.1.2

将

$q$ 和

$q$ 相加。

$2 q = 0$

解题步骤 6.4.2

将

$2 q = 0$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将

$2 q = 0$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

用

$q$ 除以

$1$ 。

$q = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

用

$0$ 除以

$2$ 。

$q = 0$

解题步骤 6.5

列出所有解。

$q = 0$

解题步骤 7

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 8

线性代数 示例

线性代数示例