线性代数示例

y = 3 x + 2

$y = 3 x + 2$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

3 x

$3 x$ 。

y - 3 x = 2, x - 4 y = 9

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

解题步骤 2

要求经过点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ 且垂直于平面

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 和平面

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面

P_{1}

$P_{1}$ 和平面

P_{2}

$P_{2}$ 的法向量

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 和

z = r + c t

$z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程

P_{2}

$P_{2}$ ，使得

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解

t

$t$ 。

4. 使用

t

$t$ 的值，求解参数方程

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 和

z = r + c t

$z = r + c t$ ，以求

t

$t$ 的交集

(x, y, z)

$(x, y, z)$ 。

解题步骤 3

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 3.1

P_{1}

$P_{1}$ 为

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ 。求平面方程

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 的法向量

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

解题步骤 3.2

P_{2}

$P_{2}$ 为

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ 。求平面方程

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 的法向量

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

解题步骤 3.3

将法向量中相对应的

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 数值乘积相加，计算

n_{1}

$n_{1}$ 和

n_{2}

$n_{2}$ 的点积。

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简点积。

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解题步骤 3.4.1

去掉圆括号。

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将

- 3

$- 3$ 乘以

1

$1$ 。

- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

- 3 - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.3

将

$0$ 乘以

$0$ 。

$- 3 - 4 + 0$

解题步骤 3.4.3

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.4.3.1

从

$- 3$ 中减去

$4$ 。

$- 7 + 0$

解题步骤 3.4.3.2

将

$- 7$ 和

$0$ 相加。

$- 7$

解题步骤 4

下一步，使用点

$(p, q, r)$ 的原点

$(0, 0, 0)$ 和标准向量

$- 7$ 的

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值，建立一组参数方程

$x = p + a t$ 、

$y = q + b t$ 和

$z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与

$P_{1}$

$y - 3 x = 2$ 垂直的直线。

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 5

将表达式

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 代入

$P_{2}$

$x - 4 y = 9$ 的方程。

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

解题步骤 6

求解

$t$ 的方程。

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解题步骤 6.1

化简

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ 。

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解题步骤 6.1.1

合并

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1

从

$0$ 中减去

$3 \cdot t$ 。

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

解题步骤 6.1.1.2

将

$0$ 和

$1 \cdot t$ 相加。

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

解题步骤 6.1.2

将

$t$ 乘以

$1$ 。

$- 3 t - 4 t = 9$

解题步骤 6.1.3

从

$- 3 t$ 中减去

$4 t$ 。

$- 7 t = 9$

解题步骤 6.2

将

$- 7 t = 9$ 中的每一项除以

$- 7$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将

$- 7 t = 9$ 中的每一项都除以

$- 7$ 。

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去

$- 7$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用

$t$ 除以

$1$ 。

$t = \frac{9}{- 7}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{9}{7}$

解题步骤 7

使用

$t$ 的值求解

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 的参数方程。

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解题步骤 7.1

求解

$x$ 的方程。

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解题步骤 7.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

解题步骤 7.1.2

去掉圆括号。

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

解题步骤 7.1.3

化简

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

乘以

$- 3 (- \frac{9}{7})$ 。

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解题步骤 7.1.3.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 3$ 。

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

解题步骤 7.1.3.1.2

组合

$3$ 和

$\frac{9}{7}$ 。

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

解题步骤 7.1.3.1.3

将

$3$ 乘以

$9$ 。

$x = 0 + \frac{27}{7}$

解题步骤 7.1.3.2

将

$0$ 和

$\frac{27}{7}$ 相加。

$x = \frac{27}{7}$

解题步骤 7.2

求解

$y$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

解题步骤 7.2.2

去掉圆括号。

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

解题步骤 7.2.3

化简

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将

$- \frac{9}{7}$ 乘以

$1$ 。

$y = 0 - \frac{9}{7}$

解题步骤 7.2.3.2

从

$0$ 中减去

$\frac{9}{7}$ 。

$y = - \frac{9}{7}$

解题步骤 7.3

求解

$z$ 的方程。

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解题步骤 7.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

解题步骤 7.3.2

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

解题步骤 7.3.3

化简

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

乘以

$0 (- \frac{9}{7})$ 。

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解题步骤 7.3.3.1.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

解题步骤 7.3.3.1.2

将

$0$ 乘以

$\frac{9}{7}$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 7.3.3.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 7.4

所求得的

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 的参数方程。

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

解题步骤 8

使用对

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 计算所得的值，求得的交点为

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ 。

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$

线性代数 示例

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