线性代数示例

$[\begin{array}{c} 8 & 13 \\ 10 & 15 \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$8 \cdot 15 - 10 \cdot 13$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $8$ 乘以 $15$ 。

$120 - 10 \cdot 13$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 10$ 乘以 $13$ 。

$120 - 130$

解题步骤 2.2.2

从 $120$ 中减去 $130$ 。

$- 10$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{10}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{1}{10}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 3 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{- 1}{2}$ 和 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.5

乘以 $- \frac{1}{10} \cdot - 13$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 13$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 13 (\frac{1}{10}) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.5.2

组合 $13$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.6

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

将 $- \frac{1}{10}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.6.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $10$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.6.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.6.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

将 $- \frac{1}{10}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.8.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot 8 \end{array}]$

解题步骤 7.8.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

解题步骤 7.8.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

解题步骤 7.8.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.9

组合 $\frac{- 1}{5}$ 和 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1 \cdot 4}{5} \end{array}]$

解题步骤 7.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 4}{5} \end{array}]$

解题步骤 7.11

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}]$

线性代数 示例

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