线性代数示例

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

组合 $7$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 2.2.1.2

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

解题步骤 2.2.1.2.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.2.1.2.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

解题步骤 2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 2.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{7 - 16}{3}$

解题步骤 2.2.3

从 $7$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 9}{3}$

解题步骤 2.2.4

用 $- 9$ 除以 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot - 8$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3

乘以 $- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.4

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 7$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$

线性代数 示例

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