线性代数示例

[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 2.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

组合

7

$7$ 和

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 2.2.1.2

乘以

- \frac{2}{3} \cdot 8

$- \frac{2}{3} \cdot 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.2.1

将

8

$8$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

解题步骤 2.2.1.2.2

组合

- 8

$- 8$ 和

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 。

\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.2.1.2.3

将

- 8

$- 8$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

解题步骤 2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 2.2.2

在公分母上合并分子。

\frac{7 - 16}{3}

$\frac{7 - 16}{3}$

解题步骤 2.2.3

从

7

$7$ 中减去

16

$16$ 。

\frac{- 9}{3}

$\frac{- 9}{3}$

解题步骤 2.2.4

用

- 9

$- 9$ 除以

3

$3$ 。

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

解题步骤 6

将

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

乘以

- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

将

3

$3$ 乘以

3

$3$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.2

乘以

- \frac{1}{3} \cdot - 8

$- \frac{1}{3} \cdot - 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将

- 8

$- 8$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

组合

8

$8$ 和

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3

乘以

- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.2

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 乘以

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.3

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 乘以

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.3.4

将

3

$3$ 乘以

3

$3$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 7.4

乘以

- \frac{1}{3} \cdot 7

$- \frac{1}{3} \cdot 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.1

将

7

$7$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

组合

- 7

$- 7$ 和

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$

线性代数 示例

线性代数示例