线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.4

运用分配律。

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.7

运用分配律。

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

解题步骤 2.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0 - 6 i - 6 i$

解题步骤 2.2.3

从 $0$ 中减去 $6 i$ 。

$- 6 i - 6 i$

解题步骤 2.2.4

从 $- 6 i$ 中减去 $6 i$ 。

$- 12 i$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 5

对 $\frac{1}{- 12 i}$ 的分子和分母乘以 $- 12 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

添加圆括号。

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 6.3.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 7

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 8

运用分配律。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

解题步骤 10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

解题步骤 11

将 $\frac{i}{12}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{i}{12}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.3.2

从 $- 3 i$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.3.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.3.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{i}{4}$ 和 $i$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9

化简每一项。

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解题步骤 12.9.1

化简分子。

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解题步骤 12.9.1.1

将 $- 1$ 移到 $i$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.1.2

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.2

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.4

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.5

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 12.9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.9.5.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.10

将 $- \frac{i}{12}$ 和 $\frac{1}{4}$ 重新排序。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.11.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.11.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.11.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.11.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.12

组合 $\frac{i}{6}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.13

化简分子。

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解题步骤 12.13.1

将 $- 1$ 移到 $i$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.13.2

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.14

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.15

运用分配律。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.16

将 $\frac{i}{12}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.17

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.17.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.17.2

从 $- 3 i$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.17.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.17.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.18

组合 $\frac{i}{4}$ 和 $i$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.19

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.20

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.23

化简每一项。

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解题步骤 12.23.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.23.2

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.23.3

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 12.23.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.23.3.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.24

将 $\frac{i}{12}$ 和 $\frac{1}{4}$ 重新排序。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.25

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.25.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.25.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 12.25.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$

线性代数 示例

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