线性代数示例

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

移动 $e^{- t}$ 。

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

解题步骤 2.2.2

化简 $- e^{0}$ 。

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - e^{t}$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

解题步骤 5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

解题步骤 6

从 $- e^{t}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

解题步骤 7

从 $- 1 (1) - (e^{t})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

解题步骤 9

将 $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 10.1

组合 $e^{- t}$ 和 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.2

乘以 $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.3

乘以 $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.3.2

将 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.3.3

组合 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 和 $e^{t}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

解题步骤 10.4

乘以 $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ 。

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解题步骤 10.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

解题步骤 10.4.2

将 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

解题步骤 10.4.3

组合 $\frac{1}{1 + e^{t}}$ 和 $e^{t}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$

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