线性代数示例

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - 1$

解题步骤 2.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 2.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 5

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 7

乘以 $- (1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 8

将 $- 2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

解题步骤 9

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 9.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

解题步骤 9.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

解题步骤 9.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

解题步骤 9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 9.4.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

线性代数 示例

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