线性代数示例

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $a$ 。

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 3.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $b$ 。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

解题步骤 4.2.2.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 $a$ 。

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.4

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

移动 $a^{2}$ 。

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.4.2

将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.1.4.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.5

运用分配律。

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.6

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

移动 $a^{2}$ 。

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.6.2

将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.1.6.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.7

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

移动 $a$ 。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.7.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.8

化简每一项。

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解题步骤 5.1.8.1

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.8.3

将 $a^{2}$ 乘以 $1$ 。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 5.1.9

运用分配律。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

解题步骤 5.1.10

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

解题步骤 5.1.11

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.11.1

移动 $b^{2}$ 。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

解题步骤 5.1.11.2

将 $b^{2}$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 5.1.11.2.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

解题步骤 5.1.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

解题步骤 5.1.11.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

解题步骤 5.2

将 $a^{2} b$ 和 $a^{2} b$ 相加。

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

解题步骤 5.3

从 $- a^{3}$ 中减去 $a^{3}$ 。

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

解题步骤 5.4

将 $2 a^{2} b$ 和 $b a^{2}$ 相加。

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解题步骤 5.4.1

将 $b$ 和 $a^{2}$ 重新排序。

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

解题步骤 5.4.2

将 $2 a^{2} b$ 和 $a^{2} b$ 相加。

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$

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