线性代数示例

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 3 & - 1 & 8 \\ 1 & 1 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | i$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(- - 4 - 1 \cdot 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$(4 - 1 \cdot 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$(4 - 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 2.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$- 4 i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 4 i - (3 \cdot - 4 - 1 \cdot 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 4 i - (- 12 - 1 \cdot 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 4 i - (- 12 - 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 3.2.2

从 $- 12$ 中减去 $8$ 。

$- 4 i - - 20 j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 4 i - - 20 j + (3 \cdot 1 - 1 \cdot - 1) k$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 i - - 20 j + (3 - 1 \cdot - 1) k$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 i - - 20 j + (3 + 1) k$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- 4 i - - 20 j + 4 k$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 20$ 。

$- 4 i + 20 j + 4 k$

线性代数 示例

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