线性代数示例

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & 3 & x^{2} - 3 & 5 x & 0 4 & x^{3} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 2

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2

乘以

- x^{3} \cdot 0

$- x^{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x (5 x + 0 x^{3}) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2.2

将

0

$0$ 乘以

x^{3}

$x^{3}$ 。

x (5 x + 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x + 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x + 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

将

5 x

$5 x$ 和

0

$0$ 相加。

x (5 x) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 3

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将

- 3

$- 3$ 乘以

1

$1$ 。

x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

0

$0$ 。

x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

将

- 3

$- 3$ 和

0

$0$ 相加。

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

解题步骤 4

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

解题步骤 4.2

将

5

$5$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

使用乘法的交换性质重写。

5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

解题步骤 5.2

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 5.2.1

移动

x

$x$ 。

5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

解题步骤 5.2.2

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

解题步骤 5.3

将

$- 3$ 乘以

$- 3$ 。

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

解题步骤 5.5

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

解题步骤 5.6

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

解题步骤 5.7

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1

通过指数相加将

$x^{2}$ 乘以

$x^{3}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1

移动

$x^{3}$ 。

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

解题步骤 5.7.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

解题步骤 5.7.1.3

将

$3$ 和

$2$ 相加。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

解题步骤 5.7.2

通过指数相加将

$x^{2}$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 5.7.2.1

移动

$x$ 。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

解题步骤 5.7.2.2

将

$x$ 乘以

$x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.2.2.1

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

解题步骤 5.7.2.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

解题步骤 5.7.2.3

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$

线性代数 示例

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