线性代数示例

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

解题步骤 1

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 \cdot 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.7

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

解题步骤 5

通过重新安排增广矩阵的行简化式中的每一个方程对解向量进行分解，而简化式是通过求解每一行中的因变量得出。

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} \end{array}]$

线性代数 示例

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