线性代数示例

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 1$

解题步骤 1

二次函数最大值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是负数，则函数的最大值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

解题步骤 2.3

化简 $- \frac{9}{2 (- 2)}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x = - \frac{9}{- 4}$

解题步骤 2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - - \frac{9}{4}$

解题步骤 2.3.3

乘以 $- - \frac{9}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 (\frac{9}{4})$

解题步骤 2.3.3.2

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{9}{4}$

解题步骤 3

计算 $f (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{9}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{9}{4}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{81}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{9}{4}) = - 2 (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1) (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.4.3

约去公因数。

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.4.4

重写表达式。

$f (\frac{9}{4}) = - 1 (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1 (\frac{81}{8})$ 重写为 $- (\frac{81}{8})$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

解题步骤 3.2.1.6

乘以 $9 (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.6.1

组合 $9$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

解题步骤 3.2.1.6.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} + 1$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

解题步骤 3.2.2.3

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 + 8}{8}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $81$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 162 + 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $- 81$ 和 $162$ 相加。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 + 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $81$ 和 $8$ 相加。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{89}{8}$

解题步骤 3.2.5

最终答案为 $\frac{89}{8}$ 。

$\frac{89}{8}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最大值出现的位置。

$(\frac{9}{4}, \frac{89}{8})$

解题步骤 5

线性代数 示例

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