线性代数示例

${(3)}^{2} a + 3 b + c = 4$ , ${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$ , ${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

解题步骤 1

将变量移到左边，将常量移到右边。

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解题步骤 1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 a + 3 b + c = 4$

${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

解题步骤 1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

解题步骤 1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

解题步骤 2

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{9}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{9}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

解题步骤 3.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{10}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{10}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.6

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $5$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $5$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.9

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.9.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 3.9.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

解题步骤 4

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

解题步骤 5

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- 1, 8, - 11)$

线性代数 示例

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