线性代数示例

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} + \frac{z}{2} = 0$ , $\frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6$ , $\frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

要将 $- \frac{y + 6}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x + 2}{6} - \frac{y + 6}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{y + 6}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x + 2}{6} - \frac{(y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + 2 - (y + 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{x + 2 + (- y - 1 \cdot 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x + 2 + (- y - 6) \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$\frac{x + 2 - y \cdot 2 - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + 2 - 2 y - 6 \cdot 2}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4.5

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x + 2 - 2 y - 12}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.4.6

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.5

要将 $\frac{z}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z}{2} \cdot \frac{3}{3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.6.1

将 $\frac{z}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{2 \cdot 3} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x - 2 y - 10}{6} + \frac{z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 y - 10 + z \cdot 3}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 1.8

将 $3$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1}{2} + \frac{y - 1}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + 1 + y - 1}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.2

合并 $x + 1 + y - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y + 0}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.2.2

将 $x + y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} + \frac{- z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.4

要将 $\frac{x + y}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x + y}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{x + y}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2}{4} - \frac{z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{(x + y) \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{x \cdot 2 + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + y \cdot 2 - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.7.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 \cdot x + 2 \cdot y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 2.7.4

将 $2$ 乘以 $y$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

要将 $\frac{x - 5}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{y + 1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{x - 5}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{y + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{y + 1}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.3.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3}{12} + \frac{(y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{(x - 5) \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 5 \cdot 3 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 \cdot x - 15 + (y + 1) \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.5

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x - 15 + 4 \cdot y + 4}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.5.7

将 $- 15$ 和 $4$ 相加。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.6

要将 $\frac{z - 2}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{z - 2}{2} \cdot \frac{6}{6} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{z - 2}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11}{12} + \frac{(z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + (z - 2) \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

运用分配律。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + z \cdot 6 - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.9.2

将 $6$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 2 \cdot 6}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.9.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y - 11 + 6 \cdot z - 12}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 3.9.4

从 $- 11$ 中减去 $12$ 。

$\frac{x - 2 y - 10 + 3 z}{6} = 0, \frac{2 x + 2 y - z}{4} = 6, \frac{3 x + 4 y + 6 z - 23}{12} = \frac{83}{12}$

解题步骤 4

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $6$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $6$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 (\frac{1}{6}) & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 6 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{12} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{1}{12} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 4$ a $1$ .

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解题步骤 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{83}{12} \end{array}]$

解题步骤 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

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解题步骤 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{83}{12} R_{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{83}{12} \cdot 0 & \frac{83}{12} - \frac{83}{12} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 6

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$0 = 1$

解题步骤 7

因为 $0 \neq 1$ ，所以没有解。

无解

线性代数 示例

线性代数示例