线性代数示例

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

解题步骤 1

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

解题步骤 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

解题步骤 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

解题步骤 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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解题步骤 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

解题步骤 4

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $b$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

在等式两边都加上 $\frac{2 b}{3}$ 。

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.1.2

要将 $b$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.1.3

组合 $b$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.1.5.2

将 $3 b$ 和 $2 b$ 相加。

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.3

将 $5 b = 35$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $5 b = 35$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.3.2.1.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

用 $35$ 除以 $5$ 。

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

解题步骤 5

解为使方程组成立的有序对集合。

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

解题步骤 6

通过重新安排增广矩阵的行简化式中的每一个方程对解向量进行分解，而简化式是通过求解每一行中的因变量得出。

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$

线性代数 示例

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