线性代数示例

${[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]}^{3}$

解题步骤 1

要计算正方形矩阵的正整数幂 $n$ ，请将该矩阵的 $n$ 个副本相乘。

$[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]$

解题步骤 2

乘以 $[\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]$ 。

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解题步骤 2.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 2$ 。

解题步骤 2.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 9 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 9 \cdot 2 + 4 \cdot 9 & 9 \cdot 0 + 4 \cdot 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]$

解题步骤 2.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 4 & 0 \\ 54 & 16 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]$

解题步骤 3

乘以 $[\begin{array}{c} 4 & 0 \\ 54 & 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 9 & 4 \end{array}]$ 。

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解题步骤 3.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 2$ 。

解题步骤 3.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 4 \cdot 2 + 0 \cdot 9 & 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 54 \cdot 2 + 16 \cdot 9 & 54 \cdot 0 + 16 \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 3.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 8 & 0 \\ 252 & 64 \end{array}]$

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