线性代数示例

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{array}]$

解题步骤 1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

解题步骤 1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

解题步骤 1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

解题步骤 1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$\frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

解题步骤 1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$- \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 1.9

最后把这些项加起来。

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (x^{2} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

乘以 $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{5 \cdot 5}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

乘以 $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{5} x))$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5 \cdot 5} - (- \frac{1}{5} x))$

解题步骤 4.2.1.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - (- \frac{1}{5} x))$

解题步骤 4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - - \frac{x}{5})$

解题步骤 4.2.3

乘以 $- - \frac{x}{5}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + 1 \frac{x}{5})$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\frac{x}{5}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.4

运用分配律。

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.5

乘以 $\frac{1}{5} (- \frac{x}{5})$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{x}{5}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.5.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.6

乘以 $\frac{1}{5} (- \frac{1}{25})$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{25}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{5 \cdot 25} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.6.2

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

解题步骤 5.1.7

运用分配律。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

解题步骤 5.1.8

乘以 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25}$ 。

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解题步骤 5.1.8.1

将 $\frac{1}{25}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{25 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

解题步骤 5.1.9

乘以 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

将 $\frac{x}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{5 \cdot 5}$

解题步骤 5.1.9.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{25}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

解题步骤 5.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

解题步骤 5.4

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

解题步骤 5.5

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} - \frac{3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

解题步骤 5.6.2

将负号移到分数的前面。

$x^{3} - \frac{3 x}{25} - \frac{2}{125}$

线性代数 示例

线性代数示例