线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 4 & 10 \\ 5 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 4 \cdot 6 - 5 \cdot 10$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$- 24 - 5 \cdot 10$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $10$ 。

$- 24 - 50$

解题步骤 2.2.2

从 $- 24$ 中减去 $50$ 。

$- 74$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{74}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{1}{74}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

从 $74$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (37)} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{37} \cdot 3 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{- 1}{37}$ 和 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

将 $- \frac{1}{74}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5.2

从 $74$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5.3

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{37} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.6

组合 $\frac{- 1}{37}$ 和 $- 5$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- - 5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.8

乘以 $- \frac{1}{74} \cdot - 5$ 。

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解题步骤 7.8.1

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ 5 (\frac{1}{74}) & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.8.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{74}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.1

将 $- \frac{1}{74}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.9.2

从 $74$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 4 \end{array}]$

解题步骤 7.9.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

解题步骤 7.9.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

解题步骤 7.9.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{37} \cdot - 2 \end{array}]$

解题步骤 7.10

组合 $\frac{- 1}{37}$ 和 $- 2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- - 2}{37} \end{array}]$

解题步骤 7.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{2}{37} \end{array}]$

线性代数 示例

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