线性代数示例

$[\begin{array}{c} 3 + 4 i \\ 4 + 4 i \\ 2 + 2 i \\ 4 - 2 i \end{array}]$

解题步骤 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 3 + 4 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 16}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{5^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.10

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{25 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.12

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.12.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.13

从根式下提出各项。

$\sqrt{25 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.14

对 $4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{25 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.15

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.16.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{25 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.16.4.1

约去公因数。

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16.4.2

重写表达式。

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.16.5

计算指数。

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.17

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{25 + 32 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.18

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.19

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.20

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.21

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.22

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.22.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.22.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.23

从根式下提出各项。

$\sqrt{25 + 32 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.24

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{25 + 32 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.25

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.26.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.26.4.1

约去公因数。

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26.4.2

重写表达式。

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.26.5

计算指数。

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.27

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

解题步骤 2.28

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.29

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.30

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + 4}}^{2}}$

解题步骤 2.31

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{20}}^{2}}$

解题步骤 2.32

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.32.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4 (5)}}^{2}}$

解题步骤 2.32.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2}}$

解题步骤 2.33

从根式下提出各项。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 2.34

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.35

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.36

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.36.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.36.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.36.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.36.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.36.4.1

约去公因数。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.36.4.2

重写表达式。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{1}}$

解题步骤 2.36.5

计算指数。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5}$

解题步骤 2.37

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 20}$

解题步骤 2.38

将 $25$ 和 $32$ 相加。

$\sqrt{57 + 8 + 20}$

解题步骤 2.39

将 $57$ 和 $8$ 相加。

$\sqrt{65 + 20}$

解题步骤 2.40

将 $65$ 和 $20$ 相加。

$\sqrt{85}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{85}$

小数形式：

$9.21954445 \dots$

线性代数 示例

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