线性代数示例

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.3.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(8 - λ) (2 - λ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.2.1.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

从 $- 8 λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

解题步骤 1.5.2.1.3

乘以 $- (- 3 \cdot 6)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

解题步骤 1.5.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

解题步骤 1.5.2.2

将 $16$ 和 $18$ 相加。

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 10 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.7.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 10$ 和 $c = 34$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $34$ 。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.3

从 $100$ 中减去 $136$ 。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.4

将 $- 36$ 重写为 $- 1 (36)$ 。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (36)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ 。

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.7

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.9

将 $6$ 移到 $i$ 的左侧。

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

解题步骤 1.7.3.3

化简 $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ 。

$λ = 5 \pm 3 i$

解题步骤 1.7.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 5 - 3 i$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.5

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.5.1

将 $- 5 - 3 i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $- 5 - 3 i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.5.3

将 $- 5 - 3 i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.5.4

将 $- 5 - 3 i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 5 + 3 i$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.5

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.5.1

将 $- 5 + 3 i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.5.2

将 $- 5 + 3 i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.5.3

将 $- 5 + 3 i$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.5.4

将 $- 5 + 3 i$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例