线性代数示例

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为

2

$2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

2 \times 2

$2 \times 2$ 方阵。

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

代入

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ 替换

A

$A$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换

I_{2}

$I_{2}$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

将

- λ

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将

2

$2$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

4

$4$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

(3 - λ) (6 - λ)

$(3 - λ) (6 - λ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1.1

将

3

$3$ 乘以

6

$6$ 。

p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将

6

$6$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

通过指数相加将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1.5.1

移动

λ

$λ$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.5.2

将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.7

将

λ^{2}

$λ^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.2

从

- 3 λ

$- 3 λ$ 中减去

6 λ

$6 λ$ 。

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.3

将

- 4

$- 4$ 乘以

2

$2$ 。

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

解题步骤 5.2.2

从

18

$18$ 中减去

8

$8$ 。

p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

解题步骤 5.2.3

将

- 9 λ

$- 9 λ$ 和

λ^{2}

$λ^{2}$ 重新排序。

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

线性代数 示例

线性代数示例