线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

计算 $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 - λ) (2 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.2

从 $- 2 λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.3

将 $- 4 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

将 $2 - λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - (2 - λ))$

解题步骤 1.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - (2 - λ))$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 2 - - λ)$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 - - λ)$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + 1 λ)$

解题步骤 1.5.4.2.1.4.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + λ)$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (- 1 + λ)$

解题步骤 1.5.4.2.3

将 $- 1$ 和 $λ$ 重新排序。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3)$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.1.2.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.1.2.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.1.2.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.2.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.3

将 $2 λ^{2}$ 和 $4 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.4

从 $- 8 λ$ 中减去 $3 λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.5

运用分配律。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.6

乘以 $- 1 (- λ)$ 。

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解题步骤 1.5.5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.6.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + 1 (λ - 1)$

解题步骤 1.5.5.1.8

将 $λ - 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + λ - 1$

解题步骤 1.5.5.2

将 $- 11 λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 10 λ + 6 - λ^{3} - 1 + λ - 1$

解题步骤 1.5.5.3

将 $- 10 λ$ 和 $λ$ 相加。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ + 6 - λ^{3} - 1 - 1$

解题步骤 1.5.5.4

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 5 - 1$

解题步骤 1.5.5.5

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 4$

解题步骤 1.5.5.6

移动 $- 9 λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ + 4$

解题步骤 1.5.5.7

将 $6 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 1.7.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.7.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 6 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 6 - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.6

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$5 - 9 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.7

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$5 - 9 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.8

从 $5$ 中减去 $9$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 1.7.1.1.3.9

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 1.7.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4}{λ - 1}$

解题步骤 1.7.1.1.5

用 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ 除以 $λ - 1$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$9 λ$

$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- λ^{3} + λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $5 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 λ^{2} - 5 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 4 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 λ + 4$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

解题步骤 1.7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

解题步骤 1.7.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- λ^{2} + 5 λ - 4$

解题步骤 1.7.1.1.6

将 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ 书写为因数的集合。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.7.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.7.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1.1.1

从 $5 λ$ 中分解出因数 $5$ 。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.1.2

把 $5$ 重写为 $1$ 加 $4$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(λ - 1) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.1.4

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$(λ - 1) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.7.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(λ - 1) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(λ - 1) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- λ + 1$ 来因式分解多项式。

$(λ - 1) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

解题步骤 1.7.3

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

解题步骤 1.7.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$λ = 1$

解题步骤 1.7.4

将 $λ - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $λ - 4$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 4 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$λ = 4$

解题步骤 1.7.5

最终解为使 $(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 1, 4$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

减去相应的元素。

$[\begin{array}{c} 2 - 1 & 1 - 0 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - 0 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.4

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.5

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.6

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.7

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.8

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.9

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y + z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - z \\ y \\ z \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.9

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 2 - 4 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 4 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + \frac{1}{2} & 1 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & - 2 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例